2013年全国高中数学联合竞赛

２０１３年第１２期

２０１３年全国高中数学联合竞赛

中圈分类号：Ｇ４２４．７９

文献标识码：Ａ

文章编号：１００５—６４１６（２０１３）１２—００２５—０６

第一试

：１，且对每个ｉ∈｛ｌ，２，…，８｝，均有生丛∈

Ⅱｉ

一、填空题（每小题８分，共６４分）１．设集合｛２，ｌ，一丢）．则这样的数列的个数为

Ａ＝｛２，０，ｌ，３｝，

Ｂ＝｛髫Ｉ一菇∈Ａ，２一茁２譬Ａ｝．

二、解答题（共５６分）

则集合Ｂ中所有元素的和为——＿．

９．（１６分）给定正数数列｛菇。｝满足２．在平面直角坐标系茗０ｙ中，已知点Ａ、

Ｓ。≥２５。一Ｉ（，ｌ＝２，３，…），

Ｂ在抛物线ｙ２＝４戈上，满足蔬 蔬＝一４，Ｆ

其中，Ｓ。＝髫ｌ＋戈２＋…＋戈。．证明：存在常数为抛物线的焦点．则Ｓ蜊 Ｓ△ｏ，Ｂ＝一

Ｃ＞０，使得

３．在△ＡＢＣ中，已知

菇。≥２“Ｃ（ｎ＝ｌ，２，…）．

ｓｉｎ

Ａ＝ｌ嘣ｎ

Ｂ Ｓｉｎ

Ｃ．嘲Ａ＝ｌＯ嘲曰 嘲￡

１０．（２０分）在平面直角坐标系加Ｉｙ中，

４．已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为

则ｔ彻Ａ＝一

已知椭圆的方程为§＋告＝ｌ（口＞６＞ｏ），

ｌ，高为在．则其内切球半径为——＿．

Ａ，、Ａ：分别为椭圆的左、右顶点，＾、Ｒ分别为椭圆的左、右焦点，Ｐ为椭圆上不同于Ａ。、５．设口、６为实数，函数八戈）＝似＋６满Ａ：的任意一点．若平面中两个点Ｑ、Ｒ满足

足：对任意的髫∈［０，１］，有叭髫）ｌ≤１．则口６

的最大值为——－．

ＱＡ。上黝Ｉ，ＱＡ２上雕２，艘Ｉ上ＰＥ，Ｒ疋上

％，试确定线段ＱＲ的长度与６的大小关

６．从ｌ，２，…，２０中任取五个不同的数，

其中至少有两个是相邻数的概率为——＿．系，并给出证明．

１１．（２０分）求所有的正实数对（口，６），７．若实数戈、，，满足茗一４打＝诉一，，，则茹的取值范围是——＿．

使得函数以ｘ）＝积２＋６满足：对任意的实数

戈、），有

８．已知数列｛口。｝共有九项，其中，口。＝口，

八戈），）＋八茗＋，，）≥叫≮菇）．厂（，，）．因此，Ｓｏ，Ｓ。，Ｓ２，…，Ｓ川中最多有ｐ一４

ｌ伊×沪ｌ

２

ｐ４

个非零．

ｐ一４

ｐ一４

由引理（１）及柯西不等式得

＞ｐ（ｐ２＋４：ｐ一４），Ⅳ＝∑ｓ；

与引理的（２）矛盾．

从而，对于所有的ｒ∈只均有ｓ，＞０．

≥南（，，蚤，，，）２

（熊斌提供李建泉翻译）

万方数据

加试

一、（４０分）如图ｌ，

ＡＢ是圆厂的一条弦，Ｐ

，‘、

为弧ＡＢ内一点，Ｅ、，为

线段船上两点，满足

ＡＥ＝ＥＪ；＇＝Ｆ８．联结ＰＥ、

即并延长，与圆厂分

图ｌ

别交于点Ｃ、Ｄ．证明：

ＥＦ ＣＤ＝ＡＣ ８Ｄ．

二、（４０分）给定正整数ｕ、＂．数列｛口。｝定义如下：口，＝ｕ＋”，对整数ｍ≥ｌ，

口２ｍ＝口ｍ＋Ｍ，口２肌＋ｌ＝口ｍ＋秽

记Ｓ。＝口ｌ＋口２＋…＋口。（ｍ＝ｌ，２，…）．证明：数列｛Ｓ。｝中有无穷多项是完全平方数．

三、（５０分）一次考试共有ｍ道试题，ｎ名学生参加，其中，ｍ、ｎ≥２为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有戈名学生没有答对，则每名答对该题的学生得ｚ分，未答对的学生得零分．每名学生的总分为其ｍ道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排

列为ｐｌ却２≥…≥ｎ．求ｐＩ＋ｐ。的最大可能值

四、（５０分）设ｎ、矗（ｎ＜２‘）均为大于ｌ的整数．证明：存在２Ｉ｜｝个不被ｎ整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被ｎ整除．

参考答案

第一试

一、１．一５．

易知，召∈｛一２，０，一ｌ，一３｝．

当算＝一２，一３时，２一茗２＝一２，一７仨Ａ；当冀＝０，一ｌ时，２一茗２＝２，１∈Ａ．因此，集合Ｂ＝｛一２，一３｝．

从而，集合Ｂ中所有元素的和为一５．

２．２．

由题意知点Ｆ（１，０）．设Ａ（髫ｌ，，，１），Ｂ（并２，托）．

万方数据

中等数学

于是＾＝等，菇：＝等．

则一４＝蔚．商＝舅，茗２＋ｙ。，，：

＝壶（，，ｍ）２¨ｙ２

号去（），。儿＋８）２＝ｏ

ｊ

ｙｌｙ２＝一８．

投ｓ凹Ｆ～ ｓ凹ＦＢ

＝（丢ＩＤ川，，。Ｉ）（÷Ｉ卯‰ｔ）

＝÷Ｉ卯１２｜，，ｌ扎Ｉ＿２．

３．１１．

由ｓｉｎ

Ａ—ｃ０８Ａ

＝１０（ｓｉｎＢ ｓｉｎ

Ｃ—ｃ∞口 ｃ∞Ｃ）

＝一１０ｃｏｓ（曰＋Ｃ）＝１０ｃｏｓＡ

：寺宴ｉｎＡ＝ｌ１卜ｎ置４

ｊ

ｔａｎＡ＝１１．

４．譬．

如图２，设球心０

在平面佃Ｃ与平面Ｐ

Ａ即内的射影分别为

日、Ｋ，边ＡＢ的中点为肘，内切球半径为ｒ．则Ｐ、Ｋ、肘，尸、Ｄ、日分

别三点共线，么尸：肼

：么脚：要，且

Ａ

Ｃ

ｏＨ＝ｏＫ＝ｒ．Ｐｏ＝ＰＨ—ｏＨ

＝厄一ｒ，

删＝和＝譬，

朋＝厢＝肛＝竽．

故赤＝等＝筹寺

解得ｒ＝譬．

２０１３年第１２期

５．｛．

易知口＝八１）一八Ｏ），６＝以０），则

口６＝八０）∽１）一以０））

＝一（删一扣 ））２＋分２（１）≤扣２（１）≤÷．

当Ｚ“ｏ）号厂（１）＝±ｌ，即Ｄ＝６＝±÷时，

口６取最大值寺．

６．塞．

设口Ｉ＜口２＜…＜口５取自１，２，…，２０．若口１，口２，…，口ｓ互不相邻，则

ｌ≤％＜口２一ｌ＜如一２＜吼一３＜如一４≤１６

由此知从ｌ，２，…，２０中取五个互不相邻的数的选法与从ｌ，２，…，１６中取五个不同的

数的选法相同，即ｃ５６种．于是，所求的概率为

．

ｃ５６

２３２

卜瓦２历‘

７．｛０｝ｕ［４，２０］．

蜥＝口，而＝６（口、６≥ｏ），此时，

ｘ

２ｙ＋（茗一，，）＝ｄ２＋６２，

且题设等式化为

口２＋６２—４口＝２６．

ｒ．是，口、６满足方程

（口一２）２＋（６一１）２＝５（口、６≥０）．如图３，在口Ｄ６

６

平面内，点（口，６）的轨迹是以Ｄ（１，２）

毛

／

，红必

为圆心、怕为半径ｉ

＼

的圆在口、６≥０的ｌ

２

、

部分，即点０与弧

、＼

‘、

／＿‘－、

６

ＡＣ８的并集．

０

、～一ｊ

心／一）故石２＋６２

网３

∈｛ｏ｝Ｕ［２，芝万］．

从而，茗：Ⅱ２＋６２∈｛０｝ｕ［４，２０］．万方数据

２７

８．４９１．

’令６。：坠（１≤ｉ≤８）．则对每个符合条

件的数列｛口。｝，满足条件

舢＝彝等＝詈一．，

且６ｉ∈｛２’ｌ，一÷）（１≤触）．

反之，由符合上述条件的八项数列｝６。｝可唯一确定一个符合题设条件的九项数列｛口。｝．

记符合条件的数列｛６。｝的个数为Ⅳ．显

然，６ｉ（１≤ｉ≤８）中有２Ｊ｜１个一÷；从而，有２．｜｝

个２，８—４矗个１．当给定．｜｝时，｛６。｝的取法有

ｃ｝ｃ芝：。种，易见ｌｊ｝的可能值只有ｏ、ｌ、２，故

Ⅳ＝１＋ｃ；ｃ：＋ｃ：ｃ：

＝ｌ＋２８×１５＋７０×ｌ＝４９１．

因此，由对应原理，知符合条件的数列｛口。｝的个数为４９１．

二、９．当ｎ≥２时．

ｓ。≥２ｓ。一１车争算。≥茹Ｉ＋工２＋…＋戈。一１．①

对常数ｃ＝寺茗，，接下来用数学归纳法

证明：

髫。≥２“ｃ（ｎ＝ｌ，２，…）．②

当ｎ＝１时，结论显然成立．

又戈２≥石Ｉ＝２２ｃ．

对，ｌ≥３，假设茗Ｉ≥２‘Ｃ（｜｜｝＝ｌ，２，…，ｎ—１）．则由式①知

菇。≥戈Ｉ＋（茗２＋茗３＋…＋茗。一１）

≥茗ｌ＋（２２Ｃ＋２３Ｃ＋…＋２“一１Ｃ）＝（２２＋２２＋２３＋…＋２“一１）Ｃ＝２“Ｃ．

于是，由数学归纳法，知式②成立．

１０．令ｃ＝￣／口２—６２．则

Ａ，（一口，０），Ａ：（口，０），Ｆ．（一ｃ，０），疋（ｃ，０）．

设Ｐ（ｚ。，％），Ｑ（菇．，ｙ．），Ｒ（髫２，扎），其

中，萼＋鲁：ｌ，％≠０．

由ＱＡ。上ＰＡ．，ＱＡ：上ＰＡ：，知

ＡＩ面 ＡＩ户＝（省ｌ＋口）（‰＋口）＋，，ｌｙｏ＝ｏ，ｑ）Ａ２面 Ａ２芦＝（石Ｉ一口）（‰一口）＋ｙＩ％＝ｏ．（爹

式①、②相减得

２口（并１＋茗ｏ）＝Ｏ＝争石ｌ＝一茹ｏ．

将其代人式①得

一蠢＋口２蝴％＝ｏ

ｊ），。＝孚．

于剐卜，等）．腿Ｒｈ，等）．

眦恻＝ｌ等一等Ｉ－缶．

由于Ｉ％Ｉ∈（０，６］，故ｌＱ尺Ｉ≥６，当且仅当Ｉ‰Ｉ＝６时，等号成立，此时，Ｐ（０，±６）．

１１．由题意得

（似２ｙ２＋６）＋［口（髫＋ｙ）２＋６］

≥（似２＋６）（矿＋６）．

①

先求口、６所满足的必要条件．在式①中令），＝Ｏ，得６＋（口戈２＋６）≥（ｎ石２＋６）６

；（１—６）ｎ髫２＋６（２—６）≥０．

由于口＞０，故似２可取到任意大的正值，因此，必有ｌ一６≥Ｏ，即０＜６≤１．

在式①中再令ｙ＝一茗，得（口∥＋６）＋６≥（口ｘ２＋６）２

号（口一口２）戈４—２口６戈２＋（２６—６２）≥Ｏ．（爹将式②左边记为ｇ（髫）．显然，口一口２≠ｏ．否则，由口＞０，知口＝１，此时，

ｇ（菇）＝一２６茹２＋（２６—６２）（６＞０）．则ｇ（茗）可取到负值，矛盾．故ｇ（算）

＝（口－口２）（矿一番）一辫懈－６２）

、

口一口，

口一口。

＝（口－口２）（茗２一圭）２＋击（２一如－６）

≥０

万方数据

中等数学

对一切实数戈成立．

于是，ｎ一口２＞０，即０＜口＜１．

进一步，考虑到此时—乇＞ｏ，再由

ｇ（任）＝圭ｃ２锄圳巩

知２口＋６≤２．

从而，求得口、６满足的必要条件为

０＜６≤ｌ，０＜口＜ｌ，２口＋６≤２．（勤下面证明，对满足条件③的任意实数对（口，６）及任意非负实数戈、），，式①总成立，－即

．Ｉｌ（ｚ，，，）

＝（口一口２）戈２ｙ２＋口（１—６）（髫２＋，，２）＋

２咧＋（２６＋６２）

≥０．

事实上，在条件③成立时，有

口（１—６）≥０，口一口２＞０，

丁』Ｌ（２—２ｎ一６）≥０．再结合ｚ２＋广≥一２缈，得

＾（ｚ，，，）

≥（口一口２）菇２），２＋口（１—６）（一２巧）＋

２吲＋（２６—６２）

＝（口一口２）茗２严＋２口６秽＋（２６—６２）

＝－（口－口２）（掣＋圭）２＋忐（２一勉－６）

≥０．

综上，所求的正实数对（口，６）全体为｛（口，６）１０＜６≤ｌ，０＜口＜ｌ，２口＋６≤２｝．

加试

一、如图４，联结加、ＢＣ、凹、腿

Ｐ

图４

２０１３年第１２期

记ｄ（Ａ，Ｚ）表示点Ａ到直线Ｚ的距离．

由ＡＥ＝ＥＦ＝船，知

墨垒巫翌』墨堡一！！堡！！翌！一旦墨一，

ｍ

ＡＣｓｉｎ么ＡＣＥ—ｄ（Ａ，Ｚｃ尸）一ＡＥ一‘‘ｕｙ

筹＝揣＝箸观②

同理，

肋ｓｉｎ么肋Ｆ

ｄ（曰，ｆＰＤ）

ＢＦ

一、…

另一方面，注意到

么ＢＣＥ＝［ＢＣＰ＝［ＢＤＰ＝［ＢＤＦ．［ＡｃＥ＝么ＡＣＰ＝［ＡＤＰ＝［ＡＤＦ．

将式①、②相乘得

丽砷

ＢＣ ＡＤ

．

号ＢＣ ＡＤ＝４Ａｃ 肋．

③由托勒密定理知

ＡＤ ＢＣ＝ＡＣ ＢＤ＋ＡＢ ｃＤ．

④

故由式③、④得ＡＢ ＣＤ＝３Ａｃ 肋，即

ＥＦ ＣＤ＝ＡＣ ＢＤ．

二、对正整数ｎ有

Ｓ２＾＋Ｉ—ｌ

＝口ｌ＋（０２＋口３）＋（口４＋口５）＋…＋（０２。＋Ｉ一２＋口２ｎ＋Ｉ—１）＝比＋口＋（口ｌ＋ｕ＋口ｌ＋移）＋（口２＋ｕ＋口２＋移）＋…＋（口２．一ｌ＋Ⅱ＋口２。一ｌ＋移）＝２“（ｕ＋ｔ７）＋２．ｓ２＾－１．

故Ｓ２叫＝２”１（ｕ＋秽）＋２Ｓ２。．１－ｌ＝２“一１（ｕ＋秽）＋２［２“一２（Ｍ＋移）＋２ｓ２。一２一１］

＝２×２“一１（Ｈ＋移）＋２２Ｓ２。．２一ｌ

＝…

＝２“一‘（ｎ—１）（ｕ＋移）＋２４—１（ｕ＋秽）＝２８—１（Ｍ＋ｔ，）ｎ．

设Ｈ＋口＝２‘ｇ（Ｊ｜｝∈Ｎ，ｇ为奇数）．取，ｌ＝∥２，其中，ｆ为满足ｆ＿｜｜｝一ｌ（ｍｏｄ２）的任意正整数．此时，

｜ｓ２。一ｌ＝２‘一１＋护ｑ２２２．

注意到，ｇ为奇数．故｜｜｝一ｌ＋ｑＺ２三七一ｌ＋Ｚ２

兰七一ｌ＋（七一１）２＝后（矗一１）

万方数据

三Ｏ（ｍｏｄ２）．

于是，Ｓ：叫是完全平方数．

由于Ｚ有无穷多个，从而，数列｛Ｓ。｝中有无穷多项是完全平方数．

三、对Ｊ｝＝ｌ，２，…，ｍ，设第后题没有答对者有礼人．则第１｜｝题答对者有ｎ一礼人．由得分规则，知这ｎ一‰个人在第｜ｊ｝题均得机分．

设ｎ名学生的得分之和为Ｓ．则

∑ｐｉ＝ｓ＝∑机（ｎ一机）＝ｎ∑龙。一∑ｚ｝

因为每一个人在第．｜｝道题上至多得机

分，所以，

ｐ。≤∑瓤．

膝址学＝碧．

由ｐ２≥ｐ３≥…≥ｐ。，知

则ｐｌ＋ｐ舟。＋等

２ｉ＿ｐ一＋；ｊ

，ｌ一２

Ｓ

≤鲁善机＋击（ｎ盏礼一毒茗：）

＝２善矿击蚤茹：

由柯西不等式得

豁≥去（豁）２．

蚍饥≤２善瓤一南（毒扎）２

＝一南【豁州¨）】２＋ｍ∽－）

≤ｍ（ｎ一１）．

另一方面，若有一名学生全部答对，其他凡一１名学生全部答错，则

．ｐｌ＋ｐ。＝ｐ。＝∑（ｎ—１）＝ｍ（，ｌ—１）．

综上，ｐ．＋ｐ。的最大值为ｍ（ｎ—１）．四、先考虑ｎ为２的幂的情形．