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【北师大版】2016秋九上期末训练(1)矩形中的折叠问题(附答案)

专题训练(一) 矩形中的折叠问题

(本专题部分习题有难度,请根据实际情况选做)

1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为(  )

  A.12             B.10               C.8             D.6

2.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG=60°.现沿直线GE将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则图中与∠BEG相等的角的个数为(  )

  A.5个             B.4个             C.3个            D.2个

   

3.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,D恰好与BC边上的点H重合,∠GFP=62°,那么∠EHF的度数等于________.

4.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=5 cm,则重叠部分△DEF的面积是________cm2.

   

5.如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边的点F处,BC=10 cm,AB8 cm,求:

(1)FC的长;

 

 

 

 

(2)EF的长.

 

 

 

 

 

 

 

 

6.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF,且AB=10 cm,AD=8 cm,DE=6 cm.

(1)求证:四边形ABCD是矩形;

 

 

 

 

(2)求BF的长;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)求折痕AF长.

 

 

 

 

 

 

 

7.将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.

(1)当m=3时,求点B的坐标和点E的坐标;(自己重新画图)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10.

(1)求矩形ABCD的周长;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.

①求DE的长;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)M是AD上的动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和.

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案

1.B 2.A 3.56° 4.5.1 

5.(1)由题意可得AF=AD=10 cm,

Rt△ABF中,AB=8 cm,AF=10 cm,
∴BF=6 cm.
∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).

2)由题意可得EF=DE,可设EF的长为x,

则在Rt△EFC中,(8-x)242x2,解得x=5,

EF的长为5 cm. 

6.(1)证明:∵把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,
∴AE=AB=10,AE2102100.

∵AD2DE28262100,
∴AD2DE2AE2.
∴△ADE是直角三角形,且∠D=90°.

∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.

2)设BF=x,则EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4(cm),FC=BC-BF=8-x,

Rt△EFC中,EC2FC2EF2

42(8-x)2x2.

解得x=5.

BF=5 cm.

(3)在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2BF2AF2
∵AB=10 cm,BF=5 cm,
∴AF=5(cm). 

7.(1)如图,点B的坐标为(3,4).

∵AB=BD=3,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴∠BAD=45°.
∴∠DAE=∠BAD=45°.
∴E在y轴上.AE=AB=BD=3,
∴四边形ABDE是正方形,OE=1.
∴点E的坐标为(0,1).

2)点E能恰好落在x轴上

理由如下:∵四边形OABC为矩形,
∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCO=90°.

由折叠的性质可得:DE=BD=OA-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m.

假设点E恰好落在x轴上,

Rt△CDE中,由勾股定理可得EC==2.

则有OE=OC-CE=m-2.

Rt△AOE中,OA2OE2AE2.

42(m-2)2m2.

解得m=3. 

8.(1)周长为2×(10+8)=36.

(2)①∵四边形ABCD是矩形

由折叠对称性得AF=AD=10,FE=DE.

Rt△ABF中,由勾股定理得BF=6,
∴FC=4.

Rt△ECF中,42(8-DE)2EF2

解得DE=5.

②分三种情形讨论:若AP=AF,∵AB⊥PF,∴PB=BF=6;

PF=AF,则PB+6=10.解得PB=4;

AP=PF,在Rt△APB中,AP2PB2AB2,设PB=x,则(x+6)2x282.

解得x=3(7).
∴PB=3(7).

综合得PB=6或4或3(7).

3)当点N与C重合时,CT取最大值是8,

当点M与A重合时,CT取最小值为4,

所以线段CT长度的最大值与最小值之和为12.

 

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