【北师大版】2016秋九上期末训练(1)矩形中的折叠问题(附答案)
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【北师大版】2016秋九上期末训练(1)矩形中的折叠问题(附答案)
专题训练(一) 矩形中的折叠问题
(本专题部分习题有难度,请根据实际情况选做)
1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
2.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG=60°.现沿直线GE将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则图中与∠BEG相等的角的个数为( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,点D恰好与BC边上的点H重合,∠GFP=62°,那么∠EHF的度数等于________.
4.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=5 cm,则重叠部分△DEF的面积是________cm2.
5.如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边的点F处,BC=10 cm,AB=8 cm,求:
(1)FC的长;
(2)EF的长.
6.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF,且AB=10 cm,AD=8 cm,DE=6 cm.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)求BF的长;
(3)求折痕AF长.
7.将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.
(1)当m=3时,求点B的坐标和点E的坐标;(自己重新画图)
(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
8.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10.
(1)求矩形ABCD的周长;
(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.
①求DE的长;
②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长.
(3)M是AD上的动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和.
参考答案
1.B 2.A 3.56° 4.5.1
5.(1)由题意可得AF=AD=10 cm,
在Rt△ABF中,AB=8 cm,AF=10 cm,
∴BF=6 cm.
∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).
(2)由题意可得EF=DE,可设EF的长为x,
则在Rt△EFC中,(8-x)2+42=x2,解得x=5,
即EF的长为5 cm.
6.(1)证明:∵把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,
∴AE=AB=10,AE2=102=100.
又∵AD2+DE2=82+62=100,
∴AD2+DE2=AE2.
∴△ADE是直角三角形,且∠D=90°.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)设BF=x,则EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4(cm),FC=BC-BF=8-x,
在Rt△EFC中,EC2+FC2=EF2,
即42+(8-x)2=x2.
解得x=5.
故BF=5 cm.
(3)在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2+BF2=AF2,
∵AB=10 cm,BF=5 cm,
∴AF==5(cm).
7.(1)如图,点B的坐标为(3,4).
∵AB=BD=3,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴∠BAD=45°.
∴∠DAE=∠BAD=45°.
∴E在y轴上.AE=AB=BD=3,
∴四边形ABDE是正方形,OE=1.
∴点E的坐标为(0,1).
(2)点E能恰好落在x轴上.
理由如下:∵四边形OABC为矩形,
∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCO=90°.
由折叠的性质可得:DE=BD=OA-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m.
假设点E恰好落在x轴上,
在Rt△CDE中,由勾股定理可得EC===2.
则有OE=OC-CE=m-2.
在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2.
即42+(m-2)2=m2.
解得m=3.
8.(1)周长为2×(10+8)=36.
(2)①∵四边形ABCD是矩形,
由折叠对称性得AF=AD=10,FE=DE.
在Rt△ABF中,由勾股定理得BF=6,
∴FC=4.
在Rt△ECF中,42+(8-DE)2=EF2,
解得DE=5.
②分三种情形讨论:若AP=AF,∵AB⊥PF,∴PB=BF=6;
若PF=AF,则PB+6=10.解得PB=4;
若AP=PF,在Rt△APB中,AP2=PB2+AB2,设PB=x,则(x+6)2-x2=82.
解得x=3(7).
∴PB=3(7).
综合得PB=6或4或3(7).
(3)当点N与C重合时,CT取最大值是8,
当点M与A重合时,CT取最小值为4,
所以线段CT长度的最大值与最小值之和为12.
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