2015全国数学模拟试题5套(1-5)

2015全国数学模拟试题5套

2015全国数学联赛模拟试题

2015全国数学联赛模拟试题（一）

ln?x2?3??___________。 1、limx?2x?2

2、?1,2，??2,1，若正数k和t满足向量??t2?1与v??ka?b垂直，则当k取最小值时，t=________。

3、在△ABC中，已知AB=?????1t466，cosB=，AC边上的中线BD=5，则sinA=________ 36

4、设a、b∈R，关于x的方程（x2-ax+1）（x2-bx+1）=0的4个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈?,2?，则ab的取值范围是________。 3

5、已知非等边三角形△ABC中，以点B、C为焦点，过A作一支双曲线，以点C、A为焦点，过B作一支双曲线，以点A、B为焦点，过C作一支双曲线，则这三支双曲线的公共点的个数为________。

6、一个五位数abcde是凸数当且仅当a?b?c?d?e，则凸数的个数为________。

7、一个球外接于四面体ABCD，另一个半径为1的球与平面ABC相切，并且两球内切于点D，若AD=3，cos∠BAC=

________。 ?1???42，cos∠BAD=cos∠CAD=，则四面体ABCD的体积为52

!?b中的a、b取自1?8、直角坐标平面内直线ay?ax?2006?x?1000展开式中x的整数

次幂前的系数，则各组（a，b）可确定的不同直线的条数为________。

9、设x1、x2、x3∈，x1x2x3=2，试求x1x2x3的最大值。

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10、一种排卡游戏规则如下：将写有1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片随机地排成一行，若第一张卡片（左起）上的标数为k，则将前k张卡片逆序排过来称为一次操作，无法操作时（即第一张卡片上为“1”）游戏停止。如果一个排列无法操作，且恰好由唯一的另一个排列经过1次操作得到，则这个排列称为“二次终止排列”，在所有可能的排列中，求“二次终止排列”出现的概率。

x2y2

11、已知椭圆C1：2?2?1?a?b?0?，动圆C2：x2?y2?R2，其中b?R?a，若ab

A是椭圆C1上的动点，B是动圆C2上的动点，且使AB与椭圆C1和动圆C2均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值。

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2015全国数学联赛模拟试题（二）

x5

1、已知x?k?0，k为常数，则f(x)?的最小值是__________。 x?k

2、已知数列{an}满足（n+1）an?1=an+n，且a1?2，则a2010?__________。

3、方程组??xz?2yt?3共有________组整数解。

?xt?yz?1

4、已知α是锐角，β是钝角，且sec（α-2β），secα，sec（α+2β）成等差数列，则cos??________。 cos?

5、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在对角线AC上取一点P，过P、A1、B1三点作平面与底面所成的二面角为α，过P、B1、C1三点作平面与底面所成的二面角为β， 则（α+β）min=________。

6、已知集合A={z|z2n?1?z，z∈C，n∈N，n≥2}，在复平面上，以A中的复数的对应点

54x?的距离的最小值为________。 35为顶点可构成f（n）个直角三角形，则f（n）=________。 7、平面上整点到直线y?

2an?18、数列{}定义如下：a1=2010，an?，n∈N，n≥2，则liman?________。 n??2an?1?21

n

9、设1，OA2，??，OAn是平面上的n

个向量，且满足k??1。

求证：在上述n个向量中必可找到若干个向量，它们的和的模不小于

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10、求所有的a0∈R，使得由an?1?2n?3an（n∈N）所确定的数列an是递增的。

11、在抛物线y?2px(p?0)的对称轴的正方向是否存在一点K，使得对于经过点K的抛物线的任意一条弦AB，总有

21KA?1KB为定值？证明你的结论。

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2015全国数学联赛模拟试题（三）

1、已知函数f（x）=ax?bx?c（a、b、c∈R且a≠0），满足条件：对任意实数x都

2?x?1?有（fx）≥2x，且当0＜x＜2时，总有（fx）≤成立。则（f-1）的取值范围是__________。 22

2、已知a、b、c∈R+，且abc=8，则alog

222 a?blog2b?clog2c的最小值为__________。2x2

x?y?上任意一点P?y2?13、过圆O：（x0，y0）（x0y0≠0），引圆O的切线l，l与椭圆32

交于A、B两点，则∠AOB=__________。

4、多项式1?x?x2????x100的展开式在合并同类项后，x??3150的系数为__________。

5、一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触，小球上有一点到这三个面的距离分别是3、3、6，则这只小球的半径是__________。

6、设a1?1，an?1?1?an?n?N*?，则nlimn?__________。 ??ann

?__________。?3n??sinx7、已知f（x）=，记an?f?则a0?a1?a2???a902?4??，cosx?cos2x??

8、设集合A={1，2，3，4，5，6}， f是A到A上的一一映射，若对任意的x∈A， 有f（f（f（x）））=x，则这样的映射有__________个。

x2y2

??1的短轴两端点，P是椭圆C上任意一点（异于C的顶点）9、A、B是椭圆C：，43

PA、PB分别与x轴交于M、N两点，记过M、N两点的圆为E。过O作圆E的一条切线，切点为F，求点F的轨迹方程。

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