2017届高考理科数学二轮复习训练：1-2-1 三角函数的图象与性质（参考解析）

一、选择题

1．将函数y＝sin6(π)(x∈R)的图象上所有的点向左平移4(π)个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为(  )

A. y＝sin12(5π)(x∈R)

B. y＝sin12(5π)(x∈R)

C. y＝sin12(π)(x∈R)

D. y＝sin24(5π)(x∈R)

答案 B

解析 原函数图象向左平移4(π)个单位后得y＝sin6(π)4(π)＝sin12(5π)(x∈R)的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y＝sin12(5π)(x∈R)的图象．

2．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为2(π)，则f6(π)的值是(  )

A．－   B.3(3)

C．1   D.

答案 D

解析 由题意可知该函数的周期为2(π)，∴ω(π)＝2(π)，ω＝2，f(x)＝tan2x，∴f6(π)＝tan3(π)＝，故选D.

3．将函数f(x)＝cosx－sinx(x∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是(  )

A.12(π)   B.6(π)

C.3(π)   D.6(5π)

答案 B

解析 f(x)＝cosx－sinx＝23()＝2cos3(π)，由题知3(π)＋a＝2(π)＋kπ，k∈Z，所以a＝6(π)＋kπ，k∈Z，又因为a>0，所以a的最小值为6(π).

4．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有f＋x(π)＝f－x(π)，则f4(π)等于(  )

A．2或0   B．－2或2

C．0   D．－2或0

答案 B

解析 由f＋x(π)＝f－x(π)可知函数图象关于直线x＝4(π)对称，则在x＝4(π)处函数取得最值，所以f4(π)＝±2，故选B.

5．[2015·云南统测]已知平面向量a＝(2cos²x，sin²x)，b＝(cos²x，－2sin²x)，f(x)＝a·b，要得到y＝sin2x＋cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象(  ) 

A．向左平行移动6(π)个单位

B．向右平行移动6(π)个单位

C．向左平行移动12(π)个单位

D．向右平行移动12(π)个单位

答案 D

解析 由题意得：f(x)＝a·b＝2cos⁴x－2sin⁴x＝2(cos²x＋sin²x)(cos²x－sin²x)＝2cos2x＝2sin2(π)，而y＝sin2x＋cos2x＝2sin3(π)＝2sin2(π)，故只需将y＝f(x)的图象向右平移12(π)个单位即可．故选D.

6．[2015·南宁适应性测试]函数f(x)＝2(1)(1＋cos2x)·sin²x(x∈R)是(  )

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2(π)的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2(π)的偶函数

答案 D

解析 注意到sin²x＝2(1)(1－cos2x)，因此f(x)＝4(1)(1＋cos2x)(1－cos2x)＝4(1)(1－cos²2x)＝4(1)sin²2x＝8(1)(1－cos4x)，即f(x)＝8(1)(1－cos4x)，f(－x)＝8(1)(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为2(π)的偶函数，选D.

7．[2014·济宁一模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f(x₀)＝3，x₀∈6(5π)，则sinx₀的值为(  )

A.10(3－3)      B.10(3＋4)

C.10(3＋1)   D.10(3＋3)

答案 B

解析 由图象知A＝5，2(T)＝3(4π)－3(π)＝π，

∴T＝2π，∴ω＝2π(2π)＝1，

且1×3(π)＋φ＝2kπ＋2(π)，又0<φ<π，∴φ＝6(π)，

∴f(x)＝5sin6(π).

由f(x₀)＝3，得sin(x₀＋6(π))＝5(3)，

即2(3)sinx₀＋2(1)cosx₀＝5(3)，①

又x₀∈6(5π)，∴x₀＋6(π)∈，π(π)，

∴cos6(π)＝－5(4)，即2(3)cosx₀－2(1)sinx₀＝－5(4)，②

由①②解得sinx₀＝10(3＋4).

8．[2015·江西八所重点中学联考]已知函数f(x)＝2(sinx＋cosx＋|sinx－cosx|)，则下列结论正确的是(  )

A．f(x)是奇函数

B．f(x)在2(π)上递增

C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1,1]

答案 C

解析 由题意得，f(x)本质上为取sinx，cosx中的较大值，为周期函数，一个周期T＝2π，在(0,2π]上的解析式为：f(x)＝，2π(5π).∵f(x)为非奇非偶函数，

∴A错误；f(x)在4(π)上单调递减，在2(π)上单调递增，∴B错误；由f(x)在(0,2π]上的解析式可知，其值域为，1(2)，∴D错误．故选C.

9．[2015·南宁适应性测试]已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝12(π)时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为(  )

A.6(π)，－12(π)   B.6(π)，12(π)

C.3(π)，－6(π)   D.3(π)，6(π)

答案 D

解析 依题意得2×12(π)＋α＝2k₁π＋2(π)，k₁∈Z，即α＝2k₁π＋3(π)，k₁∈Z，因此选项A、B均不正确；由f(x－β)是奇函数得f(－x－β)＝－f(x－β)，即f(－x－β)＋f(x－β)＝0，函数f(x)的图象关于点(－β，0)对称，f(－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k₂π，k₂∈Z，结合选项C、D，则α＝3(π)得β＝2(k2π)＋6(π)，k₂∈Z，因此选D.

10．[2015·南昌一模]如图，M(x_M，y_M)，N(x_N，y_N)分别是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与两条直线l₁：y＝m(A≥m≥0)，l₂：y＝－m的两个交点，记S(m)＝|x_N－x_M|，则S(m)的图象大致是(  )

答案 C

解析 如图所示，作曲线y＝f(x)的对称轴x＝x₁，x＝x₂，点M与点D关于直线x＝x₁对称，点N与点C关于直线x＝x₂对称，所以x_M＋x_D＝2x₁，x_C＋x_N＝2x₂，所以x_D＝2x₁－x_M，x_C＝2x₂－x_N.

又点M与点C、点D与点N都关于点B对称，所以x_M＋x_C＝2x_B，x_D＋x_N＝2x_B，

所以x_M＋2x₂－x_N＝2x_B,2x₁－x_M＋x_N＝2x_B，

得x_M－x_N＝2(x_B－x₂)＝－2(T)，x_N－x_M＝2(x_B－x₁)＝2(T)，所以|x_M－x_N|＝2(T)＝ω(π)(常数)，选C.

二、填空题

11．[2015·长春质监(三)]函数y＝2(1)sinx＋2(3)cosxx∈2(π)的单调递增区间是________．

答案 6(π)

解析 ∵y＝2(1)sinx＋2(3)cosx＝sin3(π)，

∴函数的单调递增区间为6(π)(k∈Z)，

又x∈2(π)，∴单调递增区间为6(π).

12．若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间2(π)是减函数，则a的取值范围是________．

答案 (－∞，2]

解析 f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin²x＋asinx，令t＝sinx，x∈2(π)，则t∈，1(1)，原函数化为y＝－2t²＋at＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y＝－2t²＋at＋1在，1(1)上是减函数，结合抛物线图象可知，4(a)≤2(1)，所以a≤2.

13．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)2(π)的部分图象如图所示，如果x₁，x₂∈3(π)，且f(x₁)＝f(x₂)，则f(x₁＋x₂)＝________.

答案 2(3)

解析  由图可知，2(T)＝3(π)－6(π)＝2(π)，则T＝π，ω＝2，又∵3()＝12(π)，∴f(x)的图象过点，1(π)，即sin＋φ(π)＝1，得φ＝3(π)，∴f(x)＝sin3(π).而x₁＋x₂＝－6(π)＋3(π)＝6(π)，∴f(x₁＋x₂)＝f6(π)＝sin3(π)＝sin3(2π)＝2(3).

14．[2015·湖南高考]已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.

答案 2(π)

解析 由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，易知|PQ|²＝(x₂－x₁)²＋(y₂－y₁)²，其中|y₂－y₁|＝－(－)＝2，|x₂－x₁|为函

数y＝2sinωx－2cosωx＝2sin4(π)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)²＝2ω(2π)²＋(2)²，ω＝2(π).