2017届高考理科数学二轮复习训练：1-2-2 三角恒等变换与解三角形（参考解析）

一、选择题

1．[2015·石家庄一模]已知cosα＝k，k∈R，α∈，π(π)，则sin(π＋α)＝(  )

A．－   B.

C．±   D．－k

答案 A

解析 由cosα＝k，α∈，π(π)得sinα＝，

∴sin(π＋α)＝－sinα＝－，故选A.

2．[2015·陕西质检(二)]若tan(α＋45°)<0，则下列结论正确的是(  )

A．sinα<0   B．cosα<0

C．sin2α<0   D．cos2α<0

答案 D

解析 ∵tan(α＋45°)<0，∴k·180°－135°<α<k·180°－45°，∴k·360°－270°<2α<k·360°－90°，∴cos2α<0，故选D.

3．[2015·长春质监(三)]已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²＝b²＋c²－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(  )

A.2(1)   B．1

C.   D．2

答案 C

解析 ∵a²＝b²＋c²－bc，∴cosA＝2(1)，∴A＝3(π)，又bc＝4，∴△ABC的面积为2(1)bcsinA＝，故选C.

4．[2015·郑州质量预测(二)]有四个关于三角函数的命题：

p₁：sinx＝siny⇒x＋y＝π或x＝y；

p₂：∀x∈R，sin²2(x)＋cos²2(x)＝1；

p₃：x，y∈R，cos(x－y)＝cosx－cosy；

p₄：∀x∈2(π)， 2(1＋cos2x)＝cosx.

其中真命题是(  )

A．p₁，p₃   B．p₂，p₃

C．p₁，p₄   D．p₂，p₄

答案 D

解析 对于命题p₁，若sinx＝siny，则x＋y＝π＋2kπ，k∈Z或者x＝y＋2kπ，k∈Z，所以命题p₁是假命题．对于命题p₂，由同角三角函数基本关系知命题p₂是真命题．对于命题p₃，由两角差的余弦公式可知cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny，所以命题p₃是假命题．对于命题p₄，由余弦的倍角公式cos2x＝2cos²x－1得 2(1＋cos2x)＝2(1＋2cos2x－1)＝，又因为x∈2(π)，所以cosx>0，所以＝cosx，所以命题p₄是真命题．综上，选D.

5．[2015·南昌一模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝5(3)，则b等于(  )

A.3(5)   B.7(10)

C.7(5)   D.14(2)

答案 C

解析 因为cosA＝5(3)，所以sinA＝＝2(3)＝5(4)，

所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5(4)cos45°＋5(3)sin45°＝10(2).

由正弦定理sinB(b)＝sinC(c)，得b＝2()×sin45°＝7(5).

6．[2015·洛阳统考]在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a²＝(b＋c)²，则cosA等于(  )

A.5(4)   B．－5(4)

C.17(15)   D．－17(15)

答案 D

解析 S＋a²＝(b＋c)²⇒a²＝b²＋c²－2bcsinA－1(1)，由余弦定理可得4(1)sinA－1＝cosA，结合sin²A＋cos²A＝1，可得cosA＝－17(15).

7．[2015·唐山一模]已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝(  )

A．－3(4)   B.3(4)

C．－3(4)或0   D.3(4)或0

答案 D

解析 ∵sin22α＋cos22α＝1(2sin2α＝1＋cos2α)，

∴cos2α＝－1(sin2α＝0)或5(3)，∴tan2α＝0或tan2α＝3(4).

8．[2015·洛阳统考]若α∈[0,2π)，则满足＝sinα＋cosα的α的取值范围是(  )

A.2(π)   B.

C.4(3π)   D.4(3π)∪，2π(7π)

答案 D

解析 由题意得：＝sinα＋cosα⇔＝sinα＋cosα⇔|sinα＋cosα|＝sinα＋cosα⇔sinα＋cosα≥0⇔sin4(π)≥0，又∵α∈[0,2π)，∴α的取值范围是4(3π)∪，2π(7π).

9．[2015·唐山一模]在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(  )

A.10(10)   B.10(10)

C.5(5)  D.5(5)

答案 B

解析 由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，由余弦定理得CD²＝AD²＋AC²－2AD×AC×cos∠DAC，∴a²＝(a)²＋(a)²－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝10(10).

10．[2015·云南统测]已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(  )

A.4(3)   B.4(2)

C.4(2)   D.4(2)

答案 A

解析 根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝2(2)，cosC＝2ab(a2＋b2－c2)＝4()＝8(a)＋4a(3)－4(2)≥24a(3)－4(2)＝4(2)，当且仅当8(a)＝4a(3)，即a＝时，等号成立，此时sinC＝4(2)，S_△ABC＝2(1)absinC＝2(1)××3×4(2)＝4(3).

二、填空题

11．已知tanα，tanβ是lg (6x²－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.

答案 1

解析 lg (6x²－5x＋2)＝0⇒6x²－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝6(5)，tanα·tanβ＝6(1)，∴tan(α＋β)＝1－tanαtanβ(tanα＋tanβ)＝6(1)＝1.

12．若sin－α(π)＝4(1)，则cos＋2α(π)＝________.

答案 －8(7)

解析 ∵cos－α(π)＝sin－α(π)＝4(1)，即cos＋α(π)＝4(1)，∴cos＋2α(π)＝2cos²＋α(π)－1＝2×16(1)－1＝－8(7).

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是________________．

答案 

解析 ∵csinA＝acosC，

∴sinCsinA＝sinAcosC，

∵sinA≠0，∴tanC＝，∵0<C<π，∴C＝3(π)，∴sinA＋sinB＝sinA＋sin－A(2π)＝2(3)sinA＋2(3)cosA＝sin6(π)，∵0<A<3(2π)，∴6(π)<A＋6(π)<6(5π)，∴2(3)<sin6(π)≤，∴sinA＋sinB的最大值为.

14．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB－bcosC＝5(3)a，则tanC(tanB)＝________.

答案 4(1)

解析 由正弦定理得sinCcosB－sinBcosC＝5(3)sinA，sinCcosB－sinBcosC＝5(3)sin(B＋C)，展开右边并整理得2sinCcosB＝8sinBcosC，所以tanC(tanB)＝4(1).s