2017届高考理科数学二轮复习训练:1-3-1 等差数列、等比数列(参考解析)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-3-1 等差数列、等比数列(参考解析)
一、选择题
1.已知等比数列{an}中,a5=10,则lg (a2a8)等于( )
A.1 B.2
C.10 D.100
答案 B
解析 由等比数列的性质可知lg (a2a8)=lg a5(2)=lg 100=2.
2.[2015·唐山统考]设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S2(S4)=3,则S4(S6)=( )
A.2 B.3(7)
C.10(3) D.1或2
答案 B
解析 设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6=7k,S4=3k,∴S4(S6)=3k(7k)=3(7),故选B.
3.[2015·江西八校联考]数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),若p-q=5,则ap-aq=( )
A.10 B.15
C.-5 D.20
答案 D
解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,当n=1时,a1=S1=-1,符合上式,∴an=4n-5,∴ap-aq=4(p-q)=20.
4.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列,且bn=an(an+1),若b1007·b1008=2,则a2015=( )
A.22014 B.21008
C.21007 D.22013
答案 C
解析 根据等比数列的特性可知,b1b2b3…b8=a1(a9),且b1b2b3…b2014=a1(a2015)⇒a2015=21007,故选C.
5.等比数列{an}中,a3=9,前三项和S3=3x2dx,则公比q的值为( )
A.1 B.-2(1)
C.1或-2(1) D.-1或-2(1)
答案 C
解析 S3=3x2dx=x3=27-0=27,设公比为q,又a3=9,则q2(9)+q(9)+9=27,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-2(1),故选C.
6.[2015·辽宁五校联考]抛物线x2=2(1)y在第一象限内图象上一点(ai,2ai(2))处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6等于( )
A.64 B.42
C.32 D.21
答案 B
解析 令y=f(x)=2x2,则切线斜率k=f′(ai)=4ai,切线方程为y-2ai(2)=4ai(x-ai),令y=0得x=ai+1=2(1)ai,由a2=32得:a4=8,a6=2,所以a2+a4+a6=42,故选B.
7.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在am,an,使得am·an=16a1(2),m,n∈N*,则m(1)+n(9)的最小值为( )
A.2 B.16
C.4(11) D.2(3)
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q,a3=a2+2a1⇒q2=q+2⇒q=-1(舍)或q=2,∴an=a1·2n-1,am·an=16a1(2)⇒a1(2)·2m+n-2=16a1(2)⇒m+n=6,∵m,n∈N*,∴(m,n)可取的数值组合为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),计算可得,当m=2,n=4时,m(1)+n(9)取最小值4(11).
8.[2015·石家庄模拟]等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=10,S4=36,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( )
A.,-2(1) B.(-1,-1)
C.,-1(1) D.2(1)
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d,则由题设得:4a1+6d=36(2a1+d=10),解得:d=4(a1=3).所以an=4n-1,→(PQ)=(n+2-n,an+2-an)=(2,8)=-4×,-2(1),所以过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是,-2(1),故选A.
9.等比数列{an}中,已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a1(2)+a2(2)+a3(2)+…+an(2)等于( )
A.3(1)(4n-1) B.3(1)(2n-1)
C.4n-1 D.(2n-1)2
答案 A
解析 由题知a1=1,公比q=2,故数列{an(2)}是首项为1,公比为4的等比数列,故a1(2)+a2(2)+a3(2)+…+an(2)=1-4(1×(1-4n))=3(1)(4n-1),故选A.
10.[2015·太原一模]已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1)·cos2(nπ)+1(n∈N*),其前n项和为Sn,则S60=( )
A.-30 B.-60
C.90 D.120
答案 D
解析 由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,an=a4k-3=1;当n=4k-2(k∈N*)时,an=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,an=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,an=a4k=8k.∴a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=8,∴S60=8×15=120.故选D.
二、填空题
11.[2015·贵阳质监]已知数列{an}满足a1=2,an+1=1-an(1+an)(n∈N*),则该数列的前2015项的乘积a1·a2·a3·…·a2015=________.
答案 3
解析 由题意可得,a2=1-a1(1+a1)=-3,a3=1-a2(1+a2)=-2(1),a4=1-a3(1+a3)=3(1),a5=1-a4(1+a4)=2=a1,∴数列{an}是以4为周期的数列,且a1·a2·a3·a4=1,而2015=4×503+3,∴前2015项乘积为a1a2a3=3.
12.[2015·陕西质检二]已知正项数列{an}满足an+1(2)-6an(2)=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和为________.
答案 3n-1
解析 ∵an+1(2)-6an(2)=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0,∵an>0,∴an+1=3an,∴{an}为等比数列,且公比为3,∴Sn=3n-1.
13.[2015·山西四校联考(三)]设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为等差数列,则{an}的通项公式为an=________.
答案 2n-1(n)
解析 设bn=nSn+(n+2)an,则b1=1×S1+(1+2)a1=1×a1+3a1=4,b2=2×S2+(2+2)a2=2×(a1+a2)+(2+2)a2=8,所以等差数列{bn}的首项为4,公差为4,所以bn=4+(n-1)×4=4n,即nSn+(n+2)an=4n.当n≥2时,Sn-Sn-1+n(2)an-n-1(2)an-1=0,所以n(2(n+1))an=n-1(n+1)an-1,即2·n(an)=n-1(an-1),所以n(an)是以2(1)为公比,1为首项的等比数列,所以n(an)=2(1)n-1,所以an=2n-1(n).
14.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x)=f(x+3),f(-2)=-3.若数列{an}中,a1=-1,且前n项和Sn满足n(Sn)=2×n(an)+1,则f(a5)+f(a6)=________________________________________.
答案 3
解析 ∵函数f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∵f(x)=f(x+3),∴f(x)是以3为周期的周期函数.
∵Sn=2an+n,∴Sn-1=2an-1+(n-1)(n≥2),两式相减并整理得出an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1),
∴数列{an-1}是以2为公比的等比数列,首项为a1-1=-2,an-1=-2×2n-1=-2n,an=-2n+1,∴a5=-31,a6=-63,∴f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3.
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