2017届高考理科数学二轮复习训练：1-5-3-1 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题（参考解析）

1.[2015·兰州双基过关]已知椭圆C₁：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝3(6)，过C₁的左焦点F₁的直线l：x－y＋2＝0被圆C₂：(x－3)²＋(y－3)²＝r²(r>0)截得的弦长为2.

 (1)求椭圆C₁的方程；

(2)设C₁的右焦点为F₂，在圆C₂上是否存在点P，满足|PF₁|＝b2(a2)|PF₂|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．

解 (1)∵直线l的方程为x－y＋2＝0，

令y＝0，得x＝－2，即F₁(－2,0)，

∴c＝2，又∵e＝a(c)＝3(6)，∴a²＝6，b²＝a²－c²＝2，

∴椭圆C₁的方程为6(x2)＋2(y2)＝1.

(2)∵圆心C₂(3,3)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝2(|3－3＋2|)＝，

又直线l：x－y＋2＝0被圆C₂：(x－3)²＋(y－3)²＝r²(r>0)截得的弦长为2，

∴r＝2(2)＝＝2，

故圆C₂的方程为(x－3)²＋(y－3)²＝4.

设圆C₂上存在点P(x，y)，满足|PF₁|＝b2(a2)|PF₂|，即|PF₁|＝3|PF₂|，且F₁，F₂的坐标分别为F₁(－2,0)，F₂(2,0)，

则＝3，

整理得2(5)²＋y²＝4(9)，它表示圆心是C，0(5)，半径是2(3)的圆．∵|CC₂|＝2＋(3－0)2(5)＝2(37)，

故有2－2(3)<|CC₂|<2＋2(3)，故圆C与圆C₂相交，有两个公共点．

∴圆C₂上存在两个不同的点P，满足|PF₁|＝b2(a2)|PF₂|.

2.[2015·云南统测]已知曲线C的方程为＋＝4，经过点(－1,0)作斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，l与直线x＝－4交于点D，O是坐标原点．

(1)若→(OA)＋→(OD)＝2→(OB)，求k的值；

(2)是否存在实数k，使△AOB为锐角三角形？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

解 (1)由＋＝4得＋＝4>2.

∴曲线C是以F₁(－1,0)、F₂(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆．

∴曲线C的方程为4(x2)＋3(y2)＝1，即3x²＋4y²＝12.

∵直线l经过点(－1,0)，斜率为k，∴直线l的方程为y＝k(x＋1)．

∵直线l与直线x＝－4交于点D，∴D(－4，－3k)．

设A(x₁，kx₁＋k)，B(x₂，kx₂＋k)．

由y＝k(x＋1)(3x2＋4y2＝12)得(3＋4k²)x²＋8k²x＋4k²－12＝0，

∴x₁＋x₂＝3＋4k2(－8k2)，x₁x₂＝3＋4k2(4k2－12).

由→(OA)＋→(OD)＝2→(OB)得2x₂－x₁＝－4.

由2x₂－x₁＝－4和x₁＋x₂＝3＋4k2(－8k2)得x₁＝3＋4k2(4)，x₂＝－3＋4k2(4＋8k2).

∵x₁x₂＝3＋4k2(4k2－12)，∴3＋4k2(4)×3＋4k2(4＋8k2)＝3＋4k2(4k2－12)，化简得4k⁴－k²－5＝0，

解得k²＝4(5)或k²＝－1<0(舍去)．

∴k²＝4(5)，解得k＝±2(5).

(2)由(1)知，A(x₁，kx₁＋k)、B(x₂，kx₂＋k)，x₁＋x₂＝3＋4k2(－8k2)，x₁x₂＝3＋4k2(4k2－12).

∵→(OA)＝(x₁，kx₁＋k)，→(OB)＝(x₂，kx₂＋k)，

→(OA)·→(OB)＝x₁x₂＋(kx₁＋k)(kx₂＋k)

＝(1＋k²)x₁x₂＋k²(x₁＋x₂)＋k²

＝3＋4k2(－5k2－12)<0，

∴∠AOB>2(π).

∴不存在实数k，使△AOB为锐角三角形.

3.[2015·甘肃诊断]已知双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，右焦点F到直线x＝c(a2)的距离为2(3).

 (1)求双曲线C的方程；

(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若→(DF)·→(BF)＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

解 (1)依题意有a(b)＝，c－c(a2)＝2(3)，

∵a²＋b²＝c²，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b²＝3，

∴双曲线C的方程为x²－3(y2)＝1.

(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x₁，x₁＋m)，D(x₂，x₂＋m)，BD的中点为M，

由＝1(y2)，得2x²－2mx－m²－3＝0，

∴x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝－2(m2＋3)，

∵→(DF)·→(BF)＝1，即(2－x₁)(2－x₂)＋(x₁＋m)(x₂＋m)＝1，

∴m＝0(舍)或m＝2，

∴x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝－2(7)，M点的横坐标为2(x1＋x2)＝1，

∵→(DA)·→(BA)＝(1－x₁)(1－x₂)＋(x₁＋2)(x₂＋2)＝5＋2x₁x₂＋x₁＋x₂＝5－7＋2＝0，

∴AD⊥AB，

∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，

∵M点的横坐标为1，

∴MA⊥x轴，

∵|MA|＝2(1)|BD|，

∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.

4.[2015·南宁适应性测试(二)]已知抛物线C：y＝2x²，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

解 (1)证法一：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，把y＝kx＋2代入y＝2x²中，得2x²－kx－2＝0，

∴x₁＋x₂＝2(k).

∵x_N＝x_M＝2(x1＋x2)＝4(k)，∴N点的坐标为8(k2).

∵(2x²)′＝4x，∴(2x²)′4(k)＝k，

即抛物线在点N处的切线的斜率为k.

∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB.

证法二：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，把y＝kx＋2代入y＝2x²中，得2x²－kx－2＝0，

∴x₁＋x₂＝2(k).

∵x_N＝x_M＝2(x1＋x2)＝4(k)，∴N点的坐标为8(k2).

设抛物线在点N处的切线l₁的方程为y－8(k2)＝m4(k)，

将y＝2x²代入上式得2x²－mx＋4(mk)－8(k2)＝0，

∵直线l₁与抛物线C相切，∴Δ＝m²－88(k2)＝m²－2mk＋k²＝(m－k)²＝0，

∴m＝k，即l₁∥AB.

(2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.

∵M是AB的中点，∴|MN|＝2(1)|AB|.

由(1)知y_M＝2(1)(y₁＋y₂)＝2(1)(kx₁＋2＋kx₂＋2)＝2(1)[k(x₁＋x₂)＋4]＝2(1)＋4(k2)＝4(k2)＋2，

∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|y_M－y_N|＝4(k2)＋2－8(k2)＝8(k2＋16).

∵|AB|＝·＝·2－4×(－1)(k)＝2(1)·.

∴8(k2＋16)＝4(1)·，∴k＝±2，

∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.

5.[2015·潍坊一模]已知点M是圆心为C₁的圆(x＋1)²＋y²＝8上的动点，点C₂(1,0)，若线段MC₂的中垂线交MC₁于点N.

 (1)求动点N的轨迹方程；

(2)若直线l：y＝kx＋t是圆x²＋y²＝1的切线且l与N点轨迹交于不同的两点P、Q，O为坐标原点，若→(OP)·→(OQ)＝μ，且3(2)≤μ≤5(4)，求△OPQ面积的取值范围．

解 (1)由线段MC₂的中垂线交MC₁于点N，得|MN|＝|NC₂|，

则|NC₁|＋|NC₂|＝|NC₁|＋|NM|＝2>|C₁C₂|＝2，

所以动点N的轨迹是以C₁，C₂为焦点，以2为长轴长的椭圆，

故2a＝2，2c＝2，即a＝，c＝1，得b²＝1，

所以动点N的轨迹方程为：2(x2)＋y²＝1.

(2)因为直线y＝kx＋t是圆x²＋y²＝1的切线，

所以1＋k2(|t|)＝1，即t²＝k²＋1，

由＋y2＝1(x2)得(1＋2k²)x²＋4ktx＋2t²－2＝0，

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，所以Δ＝(4kt)²－4(1＋2k²)(2t²－2)＝8k²>0，

即k²>0，所以k≠0，

所以x₁＋x₂＝－1＋2k2(4kt)，x₁·x₂＝1＋2k2(2t2－2)，

所以y₁·y₂＝(kx₁＋t)(kx₂＋t)＝k²x₁·x₂＋t·k(x₁＋x₂)＋t²＝1＋2k2(t2－2k2)，

又t²＝1＋k²，所以x₁·x₂＝1＋2k2(2k2)，y₁·y₂＝1＋2k2(1－k2)

所以→(OP)·→(OQ)＝x₁·x₂＋y₁·y₂＝1＋2k2(1＋k2)＝μ，又3(2)≤μ≤5(4)，

所以3(2)≤1＋2k2(1＋k2)≤5(4)，即3(1)≤k²≤1，

又|PQ|＝·

  ＝2·4(k4＋k2)＋1(2(k4＋k2))，令λ＝k⁴＋k²，

因为3(1)≤k²≤1，所以λ∈，2(4)，|PQ|＝24λ＋1(2λ)＝2·2(4λ＋1)(1)在，2(4)上为递增函数．

所以5(2)≤|PQ|≤3(4).

又因为直线PQ与圆x²＋y²＝1相切，所以点O到PQ的距离为1，所以S_△OPQ＝2(1)|PQ|，

即5(2)≤2(1)|PQ|≤3(2)，

故△OPQ面积的取值范围是3(2).

6.[2015·太原一模]已知椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F₁、F₂，其离心率e＝2(1)，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂内切圆面积的最大值为3(4π).

(1)求a、b的值；

(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足→(F1A)∥→(F1C)，→(F1B)∥→(F1D)，→(AC)·→(BD)＝0，求|→(AC)|＋|→(BD)|的取值范围．

解 (1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF₁F₂内切圆面积取最大值，设此时△PF₁F₂内切圆半径为r，则πr²＝3(4π)，r＝3(3).

此时S△PF₁F₂＝2(1)·|F₁F₂|·|OP|＝bc，

又∵S△PF₁F₂＝2(1)·(|F₁F₂|＋|F₁P|＋|F₂P|)·r＝3(3)(a＋c)，

∴bc＝3(3)(a＋c)，∵e＝2(1)，∴a＝2c，

∴b＝2，a＝4.

(2)∵→(F1A)∥→(F1C)，→(F1B)∥→(F1D)，→(AC)·→(BD)＝0，∴直线AC与BD垂直相交于点F₁，由(1)得椭圆的方程为16(x2)＋12(y2)＝1，则F₁的坐标为(－2,0)，

①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|→(AC)|＋|→(BD)|＝6＋8＝14，

②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，其方程为y＝k(x＋2)，

设A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，联立＝1(y2)，

消去y，得(3＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－48＝0，

∴3＋4k2(16k2－48)，

∴|→(AC)|＝|x₁－x₂|＝3＋4k2(24(k2＋1))，

此时直线BD的方程为y＝－k(1)(x＋2)．

同理，由＝1(y2)，可得|→(BD)|＝3k2＋4(24(k2＋1))，

∴|→(AC)|＋|→(BD)|＝4k2＋3(24(k2＋1))＋3k2＋4(24(k2＋1))

  ＝(3k2＋4)(4k2＋3)(168(k2＋1)2)，

令t＝k²＋1(k≠0)，则t>1，∴|→(AC)|＋|→(BD)|＝t2(t－1)，

∵t>1，∴0<t2(t－1)≤4(1)，∴|→(AC)|＋|→(BD)|∈，14(96).

由①②可知，|→(AC)|＋|→(BD)|的取值范围是，14(96).