2017届高考理科数学二轮复习训练:1-7-1 几何证明选讲(选修4-1)(参考解析)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-7-1 几何证明选讲(选修4-1)(参考解析)
1.[2015·郑州质量预测(一)]如图所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,AB=5,求弦DE的长.
解 (1)证明:因为PG=PD,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,
又因为∠EGA=∠PGD,
所以∠EGA=∠DBA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,
从而∠PFA=∠BDA.
又AF⊥EP,所以∠PFA=90°,所以∠BDA=90°,
故AB为圆的直径.
(2)连接BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而得Rt△BDA≌Rt△ACB,
于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,
所以ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,所以DE=AB=5.
2.[2015·河北名校联盟质监(二)]已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧︵上的点(不与点A、C重合),延长BD至E,延长AD交BC的延长线于F.
(1)求证:∠CDF=∠EDF;
(2)求证:AB·AC·DF=AD·FC·FB.
证明 (1)∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠CDF=∠ABC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB,
∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,
∴∠CDF=∠EDF.
(2)由(1)得∠ADB=∠ABF,又∵∠BAD=∠FAB,
∴△BAD与△FAB相似,∴AF(AB)=AB(AD),
∴AB2=AD·AF,又∵AB=AC,∴AB·AC=AD·AF,∴AB·AC·DF=AD·AF·DF,
根据割线定理得DF·AF=FC·FB,
∴AB·AC·DF=AD·FC·FB.
3.[2015·江西八校联考]如图,直线PQ与⊙O相切于点A,AB是⊙O的弦,∠PAB的平分线AC交⊙O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于Q点.
(1)求证:QC·BC=QC2-QA2;
(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.
解 (1)证明:∵PQ与⊙O相切于点A,∴∠PAC=∠CBA,
∵∠PAC=∠BAC,∴∠BAC=∠CBA,
∴AC=BC,
由切割线定理得:
QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,
∴QC·BC=QC2-QA2.
(2)由AC=BC=5,AQ=6及(1),知QC=9,
由∠QAB=∠ACQ知△QAB∽△QCA,
∴AC(AB)=QC(QA),∴AB=3(10).
4.[2015·郑州质量预测(二)]如图,已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
(1)求证:AC·BC=AD·AE;
(2)若AF=2,CF=2,求AE的长.
解 (1)证明:连接BE,由题意知△ABE为直角三角形.
因为∠ABE=∠ADC=90°,∠AEB=∠ACB,所以△ABE∽△ADC,
所以AD(AB)=AC(AE),即AB·AC=AD·AE.
又AB=BC,所以AC·BC=AD·AE.
(2)因为FC是圆O的切线,所以FC2=FA·FB,
又AF=2,CF=2,所以BF=4,AB=BF-AF=2,
因为∠ACF=∠FBC,又∠CFB=∠AFC,所以△AFC∽△CFB,
所以FC(AF)=BC(AC),得AC=FC(AF·BC)=,cos∠ACD=4(2),
所以sin∠ACD=4(14)=sin∠AEB,
所以AE=sin∠AEB(AB)=7(14).
5.
[2015·课标全国卷Ⅱ]如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
解 (1)证明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.
又因为⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.
(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为⊙O的弦,所以O在AD上.
连接OE,OM,则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.
因为AE=2,所以AO=4,OE=2.
因为OM=OE=2,DM=2(1)MN=,所以OD=1.
于是AD=5,AB=3(3).所以四边形EBCF的面积为2(1)×3(3)2×2(3)-2(1)×(2)2×2(3)=3(3).
6.
如图,已知AD为圆O的直径,AB为圆O的切线,割线BMN交AD的延长线于点C,且BM=MN=NC,AB=2.
(1)求圆心O到割线BMN的距离;
(2)求CD的长.
解
(1)设BM=x(x>0),则由切割线定理得BA2=BM·BN,
又BM=MN=NC,则(2)2=x(x+x),得x=2,从而BC=6,由勾股定理得
AC==2,
过O作OP⊥MN于点P,则CP=3,易证△ABC∽△POC,则AB(OP)=CA(CP),
所以OP=CA(AB·CP)=7(2×3)=7(14).
(2)连接OM,在Rt△OPM中,OM==7(7),即圆O的直径AD为7(7),从而CD的长为2-7(7)=7(7).
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