2017届高考理科数学二轮复习训练：2-1-5 解析几何（参考解析）

1.已知双曲线C：a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C的离心率为(  )

A.2(5)   B.

C.2   D．3

答案 B

解析 易知双曲线C的左焦点到渐近线的距离为b，则b＝2a，因此双曲线C的离心率为e＝a(c)＝ 2(b)＝，选B.

2.若动圆的圆心在抛物线x²＝12y上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(  )

A.(0,2) B．(0，－3)

C.(0,3)   D．(0,6)

答案 C

解析 直线y＋3＝0是抛物线x²＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3).

3.以双曲线3(x2)－6(y2)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆上任意一点P与椭圆的两个焦点构成的三角形面积的最大值为(  )

A.3   B．3

C.2   D．2

答案 B

解析 因为双曲线3(x2)－6(y2)＝1的顶点坐标为(±，0)，焦点为(±3,0)，所以椭圆的长半轴长a＝3，半焦距c＝，短半轴长b＝＝，当P为短轴端点时，P与椭圆的两个焦点构成的三角形的面积最大，且最大值为2(1)×2×＝3，选择B.

4.已知P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是椭圆4(x2)＋2(y2)＝1上的两个动点，且x₁＋x₂＝2.若线段PQ的垂直平分线经过定点A，则点A的坐标为(  )

A.(1,0)   B．(1,1)

C.，0(1)   D.，1(1)

答案 C

解析 因为P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在椭圆4(x2)＋2(y2)＝1上，且x₁＋x₂＝2.当x₁≠x₂时，由2()，得x1－x2(y1－y2)＝－2(1)·y1＋y2(x1＋x2)＝－y1＋y2(1).设线段PQ的中点为N(1，n)，所以k_PQ＝x1－x2(y1－y2)＝－2n(1)，所以线段PQ的垂直平分线的方程为y－n＝2n(x－1)，即y＝2n2(1)，该直线恒过定点A，0(1)；当x₁＝x₂时，线段PQ的垂直平分线也过定点A，0(1).故线段PQ的垂直平分线恒过定点A，0(1).

5.已知双曲线mx²＋ny²＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x²＝8y的焦点重合，则此双曲线的方程为(  )

A.y²－3(x2)＝1   B．x²－3(y2)＝1

C.2(x2)－6(y2)＝1   D.2(y2)－6(x2)＝1

答案 A

解析 因为抛物线x²＝8y的焦点坐标为(0,2)，所以m<0，n>0，所以＝2(1)，即n＝1，m＝－3(1)，所以双曲线方程为y²－3(x2)＝1.

6.设F为抛物线C：x²＝12y的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，若→(FA)＋→(FB)＋→(FC)＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝(  )

A.3   B．9

C.12   D．18

答案 D

解析 设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，因为A、B、C为抛物线上不同的三点，则A、B、C可以构成三角形．

抛物线C：x²＝12y的焦点为F(0,3)，准线方程为y＝－3.

因为→(FA)＋→(FB)＋→(FC)＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F为△ABC的重心，从而有x₁＋x₂＋x₃＝0，y₁＋y₂＋y₃＝9.又根据抛物线的定义可得|FA|＝y₁－(－3)＝y₁＋3，|FB|＝y₂－(－3)＝y₂＋3，|FC|＝y₃－(－3)＝y₃＋3，所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝y₁＋3＋y₂＋3＋y₃＋3＝y₁＋y₂＋y₃＋9＝18.

7.[2015·河北名校联盟质检]若双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的4(1)，则该双曲线的离心率为________．

答案 3(3)

解析 双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：b2＋a2(|bc－a×0|)＝4(1)×2c，所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝a(c)＝3(2)＝3(3).

8.已知直线l过抛物线C：y²＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A、B两点，AB的中点M的坐标为(3,2)，则抛物线C的方程为________．

答案 y²＝4x或y²＝8x

解析 由题意可设直线l的方程为y＝k2(p)(k≠0)，与抛物线C的方程y²＝2px(p>0)联立可得k²x²－k²px－2px＋4(k2p2)＝0，则＝2(p)，解得k＝1，p＝2或k＝2，p＝4，所以抛物线C的方程为y²＝4x或y²＝8x.

9.已知点P是椭圆25(x2)＋9(y2)＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．

答案 (0,4)

解析 解法一：如图，延长PF₂，F₁M，交于点N，∵PM是∠F₁PF₂的角平分线，且F₁M⊥MP，∴|PN|＝|PF₁|，M为F₁N的中点，∵O为F₁F₂的中点，M为F₁N的中点，∴|OM|＝2(1)|F₂N|＝2(1)||PN|－|PF₂||＝2(1)||PF₁|－|PF₂||，对于椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0，xy≠0)，设点P的坐标为(x₀，y₀)(－a<x₀<a)，则0()＋0()＝1，又F₁(－c,0)，F₂(c,0)，故|PF₁|＝0(2)＝0()＝2(c)＝a＋ex₀，同理|PF₂|＝a－ex₀，∴|OM|＝2(1)||PF₁|－

|PF₂||＝2(1)|2ex₀|＝2(1)×2e|x₀|＝e|x₀|，∵点P是椭圆上与四个顶点不重合的点，故|x₀|∈(0，a)，故|OM|∈(0，c)，对于25(x2)＋9(y2)＝1，c＝4，故|OM|的取值范围是(0,4)．

解法二：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F₁，此时|OM|趋近于＝4，所以|OM|的取值范围为(0,4)．

解法三：如图，延长PF₂，F₁M交于点N，∵PM是∠F₁PF₂的角平分线，且F₁M⊥MP，∴|PN|＝|PF₁|，M为F₁N的中点，又O为F₁F₂的中点，∴|OM|＝2(1)|F₂N|＝2(1)||PN|－|PF₂||＝2(1)||PF₁|－|PF₂||，又

|PF₁|＋|PF₂|＝10，∴|OM|＝2(1)|2|PF₁|－10|＝||PF₁|－5|，又|PF₁|∈(1,5)∪(5,9)，

∴|OM|∈(0,4)，故|OM|的取值范围是(0,4)．

10.设椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝2(3)，M是椭圆C上的一点，且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，P(0，t)是y轴上一点，满足|PA|＝|PB|，→(PA)·→(PB)＝4，求实数t的值．

解 (1)由已知得2a＝4，则a＝2，

又e＝a(c)＝2(3)，所以c＝，b²＝1，

所以椭圆C的方程为4(x2)＋y²＝1.

(2)易知A(－2,0)，设B(x₁，y₁)，

根据题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，

把它代入椭圆C的方程，消去y，整理得：(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0，

由根与系数的关系得－2＋x₁＝1＋4k2(－16k2)，

则x₁＝1＋4k2(2－8k2)，y₁＝k(x₁＋2)＝1＋4k2(4k)，

所以线段AB的中点坐标为1＋4k2(2k).

①当k＝0时，则有B(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是→(PA)＝(－2，－t)，→(PB)＝(2，－t)，

由→(PA)·→(PB)＝－4＋t²＝4，解得t＝±2.

②当k≠0时，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＋4k2(2k)＝k(－1)1＋4k2(8k2).

因为P(0，t)是线段AB垂直平分线上的一点，

令x＝0，得t＝－1＋4k2(6k)，

于是→(PA)＝(－2，－t)，→(PB)＝(x₁，y₁－t)，

由→(PA)·→(PB)＝－2x₁－t(y₁－t)＝(1＋4k2)2(4(16k4＋15k2－1))＝4，解得：k＝±7(14)，

代入t＝－1＋4k2(6k)，解得t＝±5(14).

综上，满足条件的实数t的值为t＝±2或t＝±5(14).