2017届高考理科数学二轮复习训练:2-3-1 函数与方程思想(参考解析)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:2-3-1 函数与方程思想(参考解析)
一、选择题
1.已知函数f(x)=,x>0(4),若函数g(x)=f(x)+x-m不存在零点,则实数m的取值范围是( )
A.(2,6) B.(4,6)
C.(2,4) D.(-∞,2)∪(4,+∞)
答案 C
解析 当x≤0时,f(x)=2,由题意得方程2+x-m=0无解,则m>(x+2)max,而此时(x+2)max=2,所以m>2;当x>0时,f(x)=x(4),由题意得方程x(4)+x-m=0无解,则m<x(4)min,而此时x(4)min=4,所以m<4.综上可知实数m的取值范围是(2,4),故选C.
2.[2015·贵州八校联考]已知数列{an}是等差数列,若a2+2,a4+4,a6+6构成等比数列,则数列{an}的公差d等于( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
答案 B
解析 由a2+2,a4+4,a6+6成等比数列,则(a4+4)2=(a2+2)(a6+6),化简得d2+2d+1=0,d=-1,故选B.
3.[2015·辽宁五校联盟联考]已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数,且满足对任意的实数x都有f[f(x)-3x]=4,则f(x)+f(-x)的最小值等于( )
A.2 B.4
C.8 D.12
答案 B
解析 由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)=4,即f(x)=3x+K,令x=K得:f(K)=3K+K=4.又f(K)单调递增,所以K=1,从而f(x)=3x+1,即f(x)+f(-x)=3x+3x(1)+2≥23x(1)+2=4,当且仅当x=0时取等号.故选B.
4.[2015·九江一模]已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),过抛物线上一点M(p,p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|FM|=( )
A.1∶ B.1∶
C.1∶2 D.1∶3
答案 C
解析 由题意知直线l的方程为y=22(p),联立方程2(p),得N2(),∴|NF|=4(p)+2(p)=4(3)p,|MF|=p+2(p)=2(3)p,∴|NF|∶|FM|=1∶2,故选C.
5.若2x+5y≤2-y+5-x,则有( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
答案 B
解析 原不等式可变形为2x-5-x≤2-y-5y.
即2x-5(1)x≤2-y-5(1)-y.
故设函数f(x)=2x-5(1)x,f(x)为增函数,
又因为f(x)≤f(-y),所以x≤-y,即x+y≤0,选B.
6.[2015·大连高三双基测试]已知f(x)=x+xln x,若k∈Z,且k(x-2)<f(x)对任意x>2恒成立,则k的最大值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 B
解析 考虑直线y=k(x-2)与曲线y=f(x)相切时的情形,设切点为(m,f(m)),此时m-2(f(m)-0)=f′(m),即m-2(m+mln m)=2+ln m,化简得m-4-2ln m=0,设g(m)=m-4-2ln m,因为g(e2)=e2-8<0,g(e3)=e3-10>0,所以e2<m<e3,所以切线斜率2+ln m的取值范围为(4,5),所以整数k的最大值为4.
二、填空题
7.[2015·九江一模]已知F1、F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为________.
答案 x=-2
解析 将双曲线方程化为标准方程得a2(x2)-3a2(y2)=1,∴其焦点坐标为(±2a,0),(2a,0)与抛物线的焦点重合,联立抛物线与双曲线方程得y2=8ax(=1)⇒x=3a,而由|PF1|-|PF2|=2a(|PF1|+|PF2|=12)⇒|PF2|=6-a,∴|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,∴抛物线的方程为y2=8x,其准线方程为x=-2.
8.已知函数f(x)满足f(x-1)=-f(-x+1),且当x≤0时,f(x)=x3,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是________.
答案 [,+∞)
解析 因为函数f(x)满足f(x-1)=-f(-x+1),即f(x)=-f(-x),所以函数f(x)关于原点对称,是奇函数.因为当x≤0时,f(x)=x3,所以f(x)=x3(x∈R),故f(x)在R上单调递增.f(x+t)≥2f(x)=2x3=(x)3=f(x)恒成立等价于x+t≥x,即t≥(-1)x恒成立,又x∈[t,t+2],所以t≥(-1)(t+2),即t≥2(2-2),即t≥.
9.设函数f(x)=|a-x|,x>0(x2+bx+2,x≤0).若两条平行直线6x+8y+a=0与3x+by+11=0之间的距离为a,则函数g(x)=f(x)-ln (x+2)的零点个数为________.
答案 4
解析 由题意知a>0,则由6x+8y+a=0与3x+by+11=0平行,得b≠0,3(6)=b(8),所以b=4.而直线6x+8y+a=0可化为3x+4y+2(a)=0,则由题意,得2()=a,解得a=2,则函数f(x)=|2-x|,x>0(x2+4x+2,x≤0).
令g(x)=f(x)-ln (x+2)=0,即f(x)=ln (x+2),作出函数y=f(x)与y=ln (x+2)的图象如图所示.由图象易知,y=f(x)与y=ln (x+2)的图象有4个交点,所以g(x)的零点个数为4.
三、解答题
10.[2015·兰州高三诊断考]在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知cosA(a)=sinC(c).
(1)求A的大小;
(2)若a=6,求b+c的取值范围.
解 (1)∵cosA(a)=sinC(c)=sinA(a),
∴cosA=sinA,∴tanA=,
∵0<A<π,∴A=3(π).
(2)∵sinA(a)=sinB(b)=sinC(c)=3(π)=4,
∴b=4sinB,c=4sinC,
∴b+c=4sinB+4sinC=4[sinB+sin(π-A-B)]=4+B(π)=12sin6(π),
∵6(π)<B+6(π)<6(5π),∴6<12sin6(π)≤12,
即:b+c∈(6,12].
11.[2015·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy中,一动圆经过点,0(1)且与直线x=-2(1)相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设P是曲线E上的动点,点B、C在y轴上,△PBC的内切圆的方程为(x-1)2+y2=1,求△PBC面积的最小值.
解 (1)由题意可知圆心到,0(1)的距离等于到直线x=-2(1)的距离,由抛物线的定义可知,曲线E的方程为y2=2x.
(2)解法一:设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),
直线PB的方程为:(y0-b)x-x0y+x0b=0,
又圆心(1,0)到PB的距离为1,
所以0(2)=1,
整理得:(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得:(x0-2)c2+2y0c-x0=0,
所以b,c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根,
所以b+c=x0-2(-2y0),bc=x0-2(-x0),依题意bc<0,即x0>2,
则(b-c)2=(x0-2)2(-8x0),
因为y0(2)=2x0,所以|b-c|=x0-2(2x0),
所以S=2(1)|b-c||x0|=(x0-2)+x0-2(4)+4≥8,
当x0=4时上式取得等号,
所以△PBC面积的最小值为8.
解法二:设P(x0,y0),直线PB:y-y0=k(x-x0),由题知PB与圆(x-1)2+y2=1相切,则
k2+1(|k+y0-kx0|)=1,整理得:
(x0(2)-2x0)k2+2(1-x0)y0k+y0(2)-1=0,
k1+k2=--2x0(2),k1k2=-2x0(2),
依题意x0>2,
则|yB-yC|=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|=|k1-k2|x0,
又|k1-k2|=|x0-2|(2),则|yB-yC|=x0-2(2x0),
所以S=2(1)|yB-yC||x0|=(x0-2)+x0-2(4)+4≥8,当x0=4时上式取得等号,
所以△PBC面积的最小值为8.
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