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2017届高考理科数学二轮复习训练:2-3-1 函数与方程思想(参考解析)

一、选择题

1.已知函数f(x),x>0(4),若函数g(x)f(x)xm不存在零点,则实数m的取值范围是(  )

A(2,6)   B(4,6)

C(2,4)   D(2)∪(4,+∞)

答案 C

解析 x≤0时,f(x)2,由题意得方程2xm0无解,则m>(x2)max,而此时(x2)max2,所以m>2;当x>0时,f(x)x(4),由题意得方程x(4)xm0无解,则m<x(4)min,而此时x(4)min4,所以m<4.综上可知实数m的取值范围是(2,4),故选C.

2[2015·贵州八校联考]已知数列{an}是等差数列,若a22a44a66构成等比数列,则数列{an}的公差d等于(  )

A1   B.-1

C2   D.-2

答案 B

解析 a22a44a66成等比数列,则(a44)2(a22)(a66),化简得d22d10d=-1,故选B.

3[2015·辽宁五校联盟联考]已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数,且满足对任意的实数x都有f[f(x)3x]4,则f(x)f(x)的最小值等于(  )

A2   B4

C8   D12

答案 B

解析 f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)4,即f(x)3xK,令xK得:f(K)3KK4.f(K)单调递增,所以K1,从而f(x)3x1,即f(x)f(x)3x3x(1)2≥23x(1)24,当且仅当x0时取等号.故选B.

4[2015·九江一模]已知抛物线的方程为y22px(p>0),过抛物线上一点M(pp)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|FM|(  )

A1∶   B1

C1∶2   D1∶3

答案 C

解析 由题意知直线l的方程为y22(p),联立方程2(p),得N2()∴|NF|4(p)2(p)4(3)p|MF|p2(p)2(3)p∴|NF|∶|FM|1∶2,故选C.

5.若2x5y≤2y5x,则有(  )

Axy≥0   Bxy≤0

Cxy≤0   Dxy≥0

答案 B

解析 原不等式可变形为2x5x≤2y5y.

2x5(1)x≤2y5(1)y.

故设函数f(x)2x5(1)xf(x)为增函数,

又因为f(x)≤f(y),所以xy,即xy≤0,选B.

6[2015·大连高三双基测试]已知f(x)xxln  x,若kZ,且k(x2)<f(x)对任意x>2恒成立,则k的最大值为(  )

A3   B4

C5   D6

答案 B

解析 考虑直线yk(x2)与曲线yf(x)相切时的情形,设切点为(mf(m)),此时m-2(f(m)-0)f′(m),即m-2(m+mln m)2ln m,化简得m42ln m0,设g(m)m42ln m,因为g(e2)e28<0g(e3)e310>0,所以e2<m<e3,所以切线斜率2ln  m的取值范围为(4,5),所以整数k的最大值为4.

二、填空题

7.[2015·九江一模]已知F1F2分别是双曲线3x2y23a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点,若|PF1||PF2|12,则抛物线的准线方程为________

答案 x=-2

解析 将双曲线方程化为标准方程得a2(x2)3a2(y2)1其焦点坐标为(±2a,0)(2a,0)与抛物线的焦点重合,联立抛物线与双曲线方程得y2=8ax(=1)⇒x3a,而由|PF1|-|PF2|=2a(|PF1|+|PF2|=12)⇒|PF2|6a∴|PF2|3a2a6a,得a1抛物线的方程为y28x,其准线方程为x=-2.

8.已知函数f(x)满足f(x1)=-f(x1),且当x≤0时,f(x)x3,若对任意的x∈[tt2],不等式f(xt)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是________

答案 [,+∞)

解析 因为函数f(x)满足f(x1)=-f(x1),即f(x)=-f(x),所以函数f(x)关于原点对称,是奇函数.因为当x≤0时,f(x)x3,所以f(x)x3(xR),故f(x)R上单调递增.f(xt)≥2f(x)2x3(x)3f(x)恒成立等价于xtx,即t≥(1)x恒成立,又x∈[tt2],所以t≥(1)(t2),即t≥2(2-2),即t≥.

9.设函数f(x)|a-x|,x>0(x2+bx+2,x≤0).若两条平行直线6x8ya03xby110之间的距离为a,则函数g(x)f(x)ln  (x2)的零点个数为________

答案 4

解析 由题意知a>0,则由6x8ya03xby110平行,得b≠03(6)b(8),所以b4.而直线6x8ya0可化为3x4y2(a)0,则由题意,得2()a,解得a2,则函数f(x)|2-x|,x>0(x2+4x+2,x≤0).

g(x)f(x)ln  (x2)0,即f(x)ln  (x2),作出函数yf(x)yln  (x2)的图象如图所示.由图象易知,yf(x)yln (x2)的图象有4个交点,所以g(x)的零点个数为4.

三、解答题

10.[2015·兰州高三诊断考]ABC中,角ABC所对的边分别为abc,已知cosA(a)sinC(c).

(1)A的大小;

(2)a6,求bc的取值范围.

解 (1)∵cosA(a)sinC(c)sinA(a)

∴cosAsinA∴tanA

∵0<AA3(π).

(2)∵sinA(a)sinB(b)sinC(c)3(π)4

b4sinBc4sinC

bc4sinB4sinC4[sinBsin(πAB)]4+B(π)12sin6(π)

∵6(π)<B6(π)<6(5π)∴6<12sin6(π)≤12

即:bc∈(6,12].

11.[2015·石家庄一模]在平面直角坐标系xOy中,一动圆经过点,0(1)且与直线x=-2(1)相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(2)P是曲线E上的动点,点BCy轴上,PBC的内切圆的方程为(x1)2y21,求PBC面积的最小值.

解 (1)由题意可知圆心到,0(1)的距离等于到直线x=-2(1)的距离,由抛物线的定义可知,曲线E的方程为y22x.

(2)解法一:P(x0y0)B(0b)C(0c)

直线PB的方程为:(y0b)xx0yx0b0

又圆心(1,0)PB的距离为1

所以0(2)1

整理得:(x02)b22y0bx00

同理可得:(x02)c22y0cx00

所以bc是方程(x02)x22y0xx00的两根,

所以bcx0-2(-2y0)bcx0-2(-x0),依题意bc<0,即x0>2

(bc)2(x0-2)2(-8x0)

因为y0(2)2x0,所以|bc|x0-2(2x0)

所以S2(1)|bc||x0|(x02)x0-2(4)4≥8

x04时上式取得等号,

所以PBC面积的最小值为8.

解法二:P(x0y0),直线PByy0k(xx0),由题知PB与圆(x1)2y21相切,则

k2+1(|k+y0-kx0|)1,整理得:

(x0(2)2x0)k22(1x0)y0ky0(2)10

k1k2=--2x0(2)k1k2-2x0(2)

依题意x0>2

|yByC||(y0k1x0)(y0k2x0)||k1k2|x0

|k1k2||x0-2|(2),则|yByC|x0-2(2x0)

所以S2(1)|yByC||x0|(x02)x0-2(4)4≥8,当x04时上式取得等号,

所以PBC面积的最小值为8.

 

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