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2017届高考理科数学二轮复习训练:2-3-3 分类讨论思想(参考解析)

一、选择题

1.集合A{x||x|≤4xR}B{x||x3|<axR},若AB,那么a的取值范围是(  )

A.0≤a≤1   Ba≤1

C.a<1   D0<a<1

答案 B

解析 a≤0时,B,满足BA;当a>0时,欲使BA,则3+a≤4(3-a≥-4)⇒0<a≤1.综上得a≤1.

2.执行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为M,从集合M中任取一个元素m,则函数yxm(x>0)是增函数的概率为(  )

A.4(1)     B.2(1)

C.4(3)     D.5(4)

答案 B

解析 由程序框图可知,初始条件x=-2.当-2≤2时,y(2)22×(2)0,从而x=-21=-1;当-1≤2时,y(1)22×(1)=-1,从而x=-110;当0≤2时,y022×00,从而x011;当1≤2时,y122×13,从而x112;当2≤2时,y222×28,从而x213;当3>2时,退出循环.因此当x≤2时,集合M{0,-1,3,8}.要使函数yxm(x>0)是增函数,则必须且只需m>0,故所求概率P2(1),故选B.

3.如果函数f(x)ax(ax3a21)(a>0a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是(  )

A.3(2)   B.,1(3)

C.(1]   D.,+∞(2)

答案 B

解析 axt,则yt2(3a21)·t,对称轴t=-2(-(3a2+1))2(3a2+1)≥2(1).

0<a<1,则0<ax≤1.

欲使x∈[0,+∞)f(x)递增,只需2(3a2+1)≥1.

3a21≥2,即a2≥3(1).

a≥3(3)a3(3)(舍去)∴3(3)≤a1.

a>1时,ax>1不满足题设条件,故选B.

4.[2015·西安八校联考][x]表示不超过实数x的最大整数,如[2.6]2[2.6]=-3.g(x)ax+1(ax)(a>0a≠1),那么函数f(x)2(1)2(1)的值域为(  )

A.{1,0,1}   B{0,1}

C.{1,-1}   D{1,0}

答案 D

解析 g(x)ax+1(ax)g(x)ax+1(1)

∴0<g(x)<1,0<g(x)<1g(x)g(x)1.

2(1)<g(x)<1时,0<g(x)<2(1)f(x)=-1

0<g(x)<2(1)时,2(1)<g(x)<1f(x)=-1

g(x)2(1)时,g(x)2(1)f(x)0.

综上,f(x)的值域为{1,0},故选D.

5.已知双曲线2x22y21的右焦点F为抛物线Γy22px的焦点,点P是抛物线Γ准线上的一点,点Q是直线PF与抛物线Γ的一个交点.若→(PQ) →(QF),则直线PF的方程为(  )

A.xy10

B.xy10

C.xy10xy10

D.xy10xy10

答案 C

解析 因为双曲线2x22y21的右焦点F(1,0),即抛物线Γ的焦点为(1,0),所以抛物线Γ的准线方程为x=-1.

Q(x0y0),过点Q作直线QA垂直于准线,垂足为A,根据抛物线的定义知,|→(QF)||→(QA)|

因为→(PQ) →(QF),所以|→(PQ)| |→(QF)| |→(QA)|

所以直线PF的倾斜角为45°135°

所以直线PF的方程为y0±(x1)

xy10xy10.

故选C.

二、填空题

6.[2013·浙江高考]ABCDEF六个字母排成一排,且AB均在C的同侧,则不同的排法共有________(用数字作答)

答案 480

解析 如图六个位置.C放在第一个位置,则满足条件的排法共有A5(5)种情况;若C放在第2个位置,则从3,4,5,64个位置中选2个位置排AB,再在余下的3个位置排DEF,共A4(2)·A3(3)种排法;若C放在第3个位置,则可在1,2两个位置排AB,其余位置排DEF,则共有A2(2)·A3(3)种排法或在4,5,63个位置中选2个位置排AB,再在其余3个位置排DEF,共有A3(2)·A3(3)种排法;若C在第4个位置,则有A2(2)A3(3)A3(2)A3(3)种排法;若C在第5个位置,则有A4(2)A3(3)种排法;若C在第6个位置,则有A5(5)种排法.

  综上,共有2(A5(5)A4(2)A3(3)A3(2)A3(3)A2(2)A3(3))480()排法.

7.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n1,2,3…),则q的取值范围是________

答案 (1,0)∪(0,+∞)

解析 Sn>0,得a1S1>0,当q1时,Snna1>0满足题意;当q≠1时,Sn1-q(a1(1-qn))>0

1-q(1-qn)>0(n1,2,3…),则有1-qn>0(1-q>0,)①1-qn<0(1-q<0,)②,由得-1<q<1,由q>1.

又因为q≠0,故q的取值范围是(1,0)∪(0,+∞).

8. 如图所示的程序框图,当输入的值为x∈(1,3]时,输出y的取值范围为________

答案 [2,0]∪[1,3)

解析 由题意知,输出的y是函数f(x)1-x,x≥1(2x2+1,x<1,)的函数值.故当x∈(1,1)时,y2x21∈[1,3);当x∈[1,3]时,y1x∈[2,0]所以输出y的取值范围为[2,0]∪[1,3).

9.对一切实数x,若不等式x2a|x|1≥0恒成立,则实数a的取值范围是________

答案 a2

解析 解法一:令t|x|,则原不等式可变为t2at1≥0对于t≥0恒成立.

f(t)t2at1,显然函数图象为开口向上的抛物线,且过定点(0,1)

t=-2(a)≤0a≥0时,结合f(t)t2at1(t≥0)的图象显然在t轴的上方,所以当a≥0时,t2at1≥0对于t≥0恒成立;

t=-2(a)>0a<0时,结合f(t)t2at1(t≥0)的图象可得Δa24≤0,解得-2a0.

综上所述,a≥0或-2a<0,即a2.

解法二:当x0时,不等式x2a|x|1≥0显然恒成立;

x≠0时,由x2a|x|1≥0得-a≤|x||x|(1)

|x||x|(1)≥2|x|(1)2,当且仅当|x||x|(1),即x±1时等号成立,所以-a≤2,得a2.综上所述,a2.

三、解答题

10.[2015·黄山市质检二]设函数f(x)ln xp(x1)pR.

(1)p1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)设函数g(x)xf(x)p(2x2x1),对任意x≥1都有g(x)≤0成立,求实数p的取值范围.

解 (1)p1时,f(x)ln xx1f′(x)x(1-x)(x>0)

0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0,故函数f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞)

(2)由函数g(x)xln xp(x21),得g′(x)ln x12px(x>0)

(1)知,当p1时,f(x)≤f(1),即不等式ln xx1成立.

p2(1)时,g′(x)ln x12px≤(x1)12px(2p1)x≤0

即函数g(x)[1,+∞)上单调递减,从而g(x)≤g(1)0,满足题意;

当-2(1)<p<0时,存在x∈2p(1),使得ln x>0,12px>0

g′(x)ln x(12px)>0,即函数g(x)2p(1)上单调递增,

从而存在x0∈2p(1),使得g(x0)>g(1)0,不满足题意;

p≥0时,由x≥1g(x)xln xp(x21)≥0恒成立,此时不满足题意.

综上,实数p的取值范围是2(1).

11.[2015·湖北高考]将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,求e1e2的大小关系.

解 依题意,e1a(a2+b2)2(b)

e2a+m((a+m)2+(b+m)2)2(b+m).

因为a(b)a+m(b+m)a(a+m)(ab+bm-ab-am)a(a+m)(m(b-a))

由于m>0a>0b>0

所以当a>b时,0<a(b)<1,0<a+m(b+m)<1a(b)<a+m(b+m)a(b)2<a+m(b+m)2,所以e1<e2

a<b时,a(b)>1a+m(b+m)>1,而a(b)>a+m(b+m)

所以a(b)2>a+m(b+m)2,所以e1>e2.

所以当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.

12.[2015·湖南高考]设数列{an}的前n项和为Sn.已知a11a22,且an23SnSn13nN*.

(1)证明:an23an

(2)Sn.

解 (1)证明:由条件,对任意nN*,有an23SnSn13

因而对任意nN*n≥2,有an13Sn1Sn3.

两式相减,得an2an13anan1,即an23ann≥2.

a11a22,所以a33S1S233a1(a1a2)33a1.

故对一切nN*an23an.

(2)(1)知,an≠0,所以an(an+2)3,于是数列{a2n1}是首项a11,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a22,公比为3的等比数列.

因此a2n13n1a2n2×3n1.

于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)2(3(3n-1))

从而S2n1S2na2n2(3(3n-1))2×3n12(3)(5×3n21)

 

 

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