2017届高考理科数学二轮复习训练：2-4-3 解答题的解题程序模板（参考解析）

1．[2015·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝4(π)，b²－a²＝2(1)c².

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

解 (1)由b²－a²＝2(1)c²及正弦定理得sin²B－2(1)＝2(1)sin²C，所以－cos2B＝sin²C.

又由A＝4(π)，即B＋C＝4(3)π，得

－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.

(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝5(5)，cosC＝5(5).

又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin＋C(π)，所以sinB＝10(10).

由正弦定理得c＝3(2)b，

又因为A＝4(π)，2(1)bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3.

2．[2015·郑州高三质检一]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，BC＝2(1)AD＝1，PD＝CD＝2，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．

(1)试确定点M的位置，使得PA∥平面BMQ，并证明你的结论；

(2)若PM＝2MC，求二面角P－BQ－M的余弦值．

解 (1)当M为PC的中点时，PA∥平面BMQ.

理由如下：连接AC交BQ于N，连接MN，

因为∠ADC＝90°，BC＝2(1)AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．

当M为PC的中点，即PM＝MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ.

(2)由题意，以点D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，Q(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，

由PM＝2MC可得点M3(2)，

所以→(PQ)＝(1,0，－2)，→(QB)＝(0,2,0)，→(QM)＝3(2)，

设平面PQB的法向量为n₁＝(x，y，z)，则

·n1＝2y＝0(QB)，故y＝0(x＝2z)，

令z＝1，得n₁＝(2,0,1)，

同理平面MBQ的一个法向量为n₂＝，0，1(2)，

设所求二面角大小为θ，则cosθ＝|n1||n2|(|n1·n2|)＝65(65).

3．[2015·山东高考]若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．

(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．

解 (1)个位数是5的“三位递增数”有

125,135,145,235,245,345.

(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C9(3)＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此

P(X＝0)＝9(3)＝3(2)，

P(X＝－1)＝9(3)＝14(1)，

P(X＝1)＝1－14(1)－3(2)＝42(11).

所以X的分布列为

则E(X)＝0×3(2)＋(－1)×14(1)＋1×42(11)＝21(4).

4．[2015·五校联盟质检]已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且S_n＝2(an(an＋1))(n∈N^*)．

(1)求证数列{a_n}是等差数列；

(2)设b_n＝Sn(1)，T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求T_n.

解 (1)证明：S_n＝2(an(an＋1))(n∈N^*)， ①

S_n－1＝2(an－1(an－1＋1))(n≥2)． ②

①－②得：a_n＝2(－an－1)(n≥2)，整理得：(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)＝(a_n＋a_n－1)(n≥2)．

∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n＋a_n－1≠0，∴a_n－a_n－1＝1(n≥2)．

当n＝1时，a₁＝1，∴数列{a_n}是首项为1、公差为1的等差数列．

(2)由(1)得S_n＝2(n2＋n)，∴b_n＝n2＋n(2)＝n(n＋1)(2)＝2n＋1(1)，

∴T_n＝2－(1)

n＋1(1)＝2n＋1(1)＝n＋1(2n).

5．[2015·南昌一模]已知圆E：x²＋2(1)²＝4(9)经过椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点F₁，F₂，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F₁，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且→(MN)＝λ →(OA)(λ≠0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．

解 (1)∵F₁，E，A三点共线，∴F₁A为圆E的直径，

∴AF₂⊥F₁F₂.

由x²＋2(1)²＝4(9)，

得x＝±，

∴c＝，

|AF₂|²＝|AF₁|²－|F₁F₂|²＝9－8＝1，

2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝4，a＝2.

∵a²＝b²＋c²，∴b＝，

∴椭圆C的方程为4(x2)＋2(y2)＝1.

(2)由题知，点A的坐标为(，1)，∵→(MN)＝λ →(OA) (λ≠0)，

∴直线的斜率为2(2)，

故设直线l的方程为y＝2(2)x＋m，

联立＝1(y2)得，x²＋mx＋m²－2＝0，

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

∴x₁＋x₂＝－m，x₁x₂＝m²－2，

Δ＝2m²－4m²＋8>0，∴－2<m<2.

又|MN|＝ |x₂－x₁|

＝ 2(1)＝，

点A到直线l的距离d＝3(6 |m|)，

∴S_△AMN＝2(1)|MN|·d＝2(1) ×3(6)|m|

＝2(2) ≤2(2)×2(4－m2＋m2)＝，

当且仅当4－m²＝m²，即m＝±时等号成立，

此时直线l的方程为y＝2(2)x±.

6．[2015·西安八校联盟质检]已知函数f(x)＝m(x－1)e^x＋x²(m∈R)．

(1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x<0，不等式x²＋(m＋2)x>f′(x)恒成立，求m的取值范围；

(3)当m≤－1时，求函数f(x)在[m,1]上的最小值．

解 (1)当m＝－1时，f(x)＝(1－x)e^x＋x²，则f′(x)＝x(2－e^x)，由f′(x)>0得，0<x<ln 2，由f′(x)<0得x<0或x>ln 2，

故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．

(2)依题意，f′(x)＝mxm(2)<x²＋(m＋2)x，x<0，

因为x<0，所以me^x－x－m>0，

令h(x)＝me^x－x－m，则h′(x)＝me^x－1，

当m≤1时，h′(x)≤e^x－1<0，则h(x)在(－∞，0)上单调递减，所以h(x)>h(0)＝0，符合题意；

当m>1时，h(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m,0)上单调递增，所以h(x)_min＝h(－ln m)<h(0)＝0，不合题意．

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

(3)f′(x)＝mxe^x＋2x＝mxm(2)，令f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝lnm(2)，

令g(m)＝ln m(2)－m，则g′(m)＝－m(1)－1≤0，

g(m)在m＝－1时取最小值g(－1)＝1＋ln 2>0，所以x₂＝lnm(2)>m.

即m≤－1时，x₂＝lnm(2)>m.

(ⅰ)当－2<m≤－1时，x₂＝lnm(2)>0，

f(x)_min＝min{f(0)，f(1)}＝min{－m,1}＝1.

(ⅱ)当m＝－2时，函数f(x)在区间[m,1]上为减函数，f(x)_min＝f(1)＝1.

(ⅲ)当m<－2时，f(x)_min＝min{f(x₂)，f(1)}，

f(x₂)＝－2－1(2)＋m(2)²＝x2(2)－2x₂＋2>1，f(1)＝1，此时f(x)_min＝1.

综上可知f(x)_min＝1.