自考线性代数第五章特征值与特征向量习题
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自考线性代数第五章特征值与特征向量习题
第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题 1
1.设矩阵A= 0
0 0
12001130
1
1 ,则A的线性无关的特征向量的个数是( ) 1 3
A.1 B.2
C.3 D.4 2.设向量α=(4,-1,2,-2),则下列向量是单位向量的是( ) A.C.
1
α 31α 9
B.D.
1α 5
1α 25
20
3.若2阶矩阵A相似于矩阵B= ,E为2阶单位矩阵,则与矩阵E-A相似的矩阵是
2 3
( )
10
A.
14 10 C.
24
10
B.
1 4 10 D.
2 4
4.下列矩阵是正交矩阵的是( ) 0 10
0 10A.
00 1
101
1 110B. 2 011
cos
C.
sin sin
cos
D.
22022166
3 3
3 3
3
5.已知3阶矩阵A的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( )
A.A B.E A C. E A D.2E A 4 52
6.设矩阵A= 5 73 ,则以下向量中是A的特征向量的是( )
6 94
A.(1,1,1)T C.(1,1,0)T B.(1,1,3)T D.(1,0,-3)T
3 =
1 11
13 17.设矩阵A= 的三个特征值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ
( )
111
A.4
B.5 C.6 D.7
8.设A为可逆矩阵,则与A必有相同特征值的矩阵为( ) A.AT B.A2 C.A-1
D.A*
9.设A为3阶方阵,其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 B.2 C.3
D.24
10.若A、B相似,则下列说法错误..的是( ) A.A与B等价 B.A与B合同
C.| A |=| B |
D.A与B有相同特征值
11.若向量α=(1,-2,1)与β=(2,3,t)正交,则t=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4
二、填空题
1.已知3阶方阵A的特征值为1,-3,9,则
1
3
A _________. 2.已知向量α=(1,2,-1)与向量β=(0,1,y)正交,则y=_________.
3.设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为 T1=(1,1),
2=(1,k)T,则数k=_____________________. 4.已知3阶矩阵A的特征值为0,-2,3,且矩阵B与A相似,则|B+E|=_________. 5.向量 (3,2,t,1), (t, 1,2,1)正交,则t __________
___。 6.若矩阵A= 10 04 与矩阵B= 3b
ax 相似,则x=_____________。
7.已知3阶矩阵A的特征值分别为1,2,3,则|E+A|=______. 8.已知向量α (3,k,2)T与β (1,1,k)T正交,则数k ______.
9.设n阶矩阵A有一个特征值3,则|-3E+A|=_________. 10.设向量α=(1,2,-2),β=(2,a,3),且α与β正交,则a=_________.
1
11.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3,则矩阵 A2 必有一个特征值为_____________.
3
1
1 2 2
12.设矩阵A= 2x0 的特征值为4,1,-2,则数x=________________________.
200
a 1
13.已知A=
2 0 0 2
b0 是正交矩阵,则a+b=_______________________________。
01
1
14.设A为3阶方阵,特征值分别为-2,
1
,1,则| 5A-1 |=______________. 2
1
15.设α= 2 ,则A=ααT的非零特征值是_______________.
3
三、计算题
100
1.设矩阵A= 021 ,求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
012 201
2. 设矩阵B= 313 ,
405
(1)判定B是否可与对角矩阵相似,说明理由;
(2)若B可与对角矩阵相似,求对角矩阵 和可逆矩阵P,使P-1BP= 1 6 3
0 5 33.设矩阵A= ,求矩阵A的全部特征值和特征向量。
4 06
12 50 TT
,B 4.设矩阵A 43 2 1 ,存在 1 (1,2), 2 ( 1,1),使得A 1 5 1,
A 2 2;存在 1 (3,1)T, 2 (0,1)T,使得B 1 5 1,B 2 2.试求可逆矩阵P,
使得P 1AP B.
32 2
-1
0 105.设矩阵A= ,求可逆方阵P,使PAP为对角矩阵. 42 3 2
6.设矩阵A= 0
0 1
P-1AP= 0
0
020
03a
0
a 的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使 3
0 0 5
2 1 2
7.已知A= 5 a 3 的一个特征向量ξ=(1,1,-1)T,求a,b及ξ所对应的特征值,并
1 b 2
写出对应于这个特征值的全部特征向量.
四、证明题
1. 已知A是n阶矩阵,且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.
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