高等数学 中值定理

第四章中值定理与导数的应用

§4.1

中值定理

教学目的：掌握罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（

Lagrange）中值定理、柯西（Cuchy）中值定理的条件和结论，了解三个定理的几何意义，能熟练运用三个定理进行判断，并证明相关问题.

重点：根据条件构造辅助函数，熟练应用三个中值定理证明相关问题.

难点：明确各定理适应的范围，辅助函数构造技巧.教学方法：启发式讲授教学过程：

一、罗尔定理及其应用1．【费马定理】y设U(x0) D(f),

f(x) f(x0)

[或f(x) f(x0)],x U(x0)，

y f(x)

若f(x) D(x0)，则f (x0) 0x0

证明：由于f(x) f(x0) f(x) f(x0) 0,

x U(x0)，那么

f(x) f(x0)

f (x0) lim 0,(因x x0 0)

x x0x x0

f(x) f(x0)

f (x0) lim 0,(因x x0 0),

x x0x x0

所以f (x0) 0.2.【罗尔Rolle定理】y

C设f(x) C[a,b],

y f(x)

f(x) D(a,b),且ABf(a) f(b)，

O

b

f ( ) 0.

证明：因f(x) C[a,b], xm,xM [a,b]，s.t.m f(xm) min{f(x)},

则 (a,b),s.t.

a x b

M f(xM) max{f(x)}.

a x b

（1）当m M时,则f(x) M,x [a,b],那么f (x) 0,x (a,b).

a b

(a,b)，有f ( ) 0.2

(2)当m M时,因f(a) f(b)，

所以m,M不可能同时在端点达到，f(x) D(a,b),①若f(a) M,有xM (a,b),取 xM；

取

②若f(a) M,有xm (a,b),取 xm；

因

(a,b),f(x) D( ),由费马定理知：

f ( ) 0.

(2)的另证：当m M时,因f(a) f(b)，所以m,M不可能同时在端点达到.

不妨设m f(a)，则m在区间(a,b)内达到，即至少存在一点 (a,b)使得f( ) m，由于

f(x) D(a,b) f(x) D( )，即f ( ) f ( )

f(x) m

0

x x

f(x) m

且f ( ) lim 0

x x

所以f ( ) 0.

又因为

f ( ) lim

3．几何意义：

光滑曲线y f(x)在区间两个端点纵坐标相等且在除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则曲线在区间内至少有一条水平切线（或称曲线在区间内

y

C

y f(x)

AB

O

b

x

至少有一条与横轴平行的切线）.例1验证函数f(x) x 2x 3在区间[ 1,3]上罗尔定理成立.

提示：f(x) x 2x 3 (x 3)(x 1) C[ 1,3]

2

2

f (x) 2x 2 D( 1,3)，

f( 1) f(3) 0满足罗尔定理的条件，所以 1 ( 1,3)，使得f (1) 0

例2不用求出f(x) (x 1)(x 2)(x 3)的导数,试判别方程f (x) 0有几个实根.以及根所在的范围.解：显然f(x)在区间[1,2],[2,3]上都连续,f(x)在区间(1,2),(2,3)内都可导,且f(1) f(2) f(3),

由罗尔定理知,

1 (1,2), 2 (2,3),s.t.f ( 1) f ( 2) 0；由于方程f (x) 0是一元二次方程,

所以方程至多有两个实根,故方程f (x) 0有而且只有两个实根 1, 2.注意：当罗尔定理的三个条件有一个不满足时，定理的结论就可能不成立.如图所示

例3设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),且f(0)

0，

证明： (0,1),s.t.f( ) ( 1)f ( ) 0.(提示构造函数F(x) (x 1)f(x))

提问1：设f(x) C[0,a],f(x) D(0,a),且

f(a) 0，则 (0,a),s.t.3f( ) f ( ) 0.提示：构造函数F(x) x3f(x)，则

F (x)＝3x2f(x) x3f (x)，可以用罗尔定理证明.提问2：设f(x) C[1,2],f(x) D(1,2),且

f(2) 8f(1)， (1,2),s.t.3f( ) f ( ) 0.

3

提示：构造函数F(x) xf(x)，F (x)＝-3x 2f(x) x 3f (x)，

可以用罗尔定理证明.

提问3：设f(x) C[0,1],f(x) D(0,1),且f(0) f(1) 0，

则 (0,1),s.t.f ( ) f( )sin 0.

提示：构造函数F(x) e

f(x),则

F (x)＝e cosxf(x)sinx e cosxf (x)

cosx

可以用罗尔定理证明.

说明：根据题设找出满足罗尔定理条件的函数是证明问题的关键.

例4(03.8)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0) f(1) f(2) 3,f(3) 1,试证必存在

(0,3),使f ( ) 0.

由条件知f(x)在[0,2]上连续,那么f(x)在[0,2]上取得最小值m与最大值M,于是证

f(0) f(1) f(2)

1 M,

3

由介值定理知,存在 [0,2],使得f( ) 1;又由条件知f(x)在[ ,3]上连续,在( ,3)内可导,且f( ) f(3) 1,由罗尔定理知,

存在 ( ,3) (0,3),使得f ( ) 0.m

结论：罗尔中值定理的作用：解决导函数构成方程的根的

问题.

二、拉格朗日中值定理及其应用

1.【拉格朗日Lagrange中值定理】设f(x) C[a,b]，

y

C

f(x) D(a,b),则 (a,b),s.t.

f(b) f(a) f ( )(b a)

f(b) f(a)

【或f ( ) O

b a

此式称为拉格朗日中值公式.证明：构造函数

y f(x)

N

B

A

b

x

L(x) f(x) f(a)

f(b) f(a)

(x a),

b a

x [a,b].

因为f(x) C[a,b]，所以L(x) C[a,b]；又L(a) 0,L(b) 0,

f(b) f(a)

又因为L (x) f (x) ，

b a

即L(x) D(a,b).

所以由罗尔定理知： (a,b),s.t.L ( ) 0,

即

f(b) f(a)

0,

b a

所以f(b) f(a) f ( )(b a)， (a,b).

L ( ) f ( )

结论：拉格朗日中值定理的作用：证明恒等式与不等式问

题，证明单调性问题.

说明：1）设L(x) f(x)(b a) [f(b) f(a)]xx [a,b]也可以进行证明.

2）拉格朗日中值定理在a b时成立.拉格朗日中值定理

也称为微分中值定理.或有限增量

定理，它精确表示了函数在一个区间上的增量与函数在此区间内某点导数间的关系.