高中数学：第一章：集合(竞赛精讲)1

　　高一数学培优之集合 第一章 集合

　　1.1 集合的概念与运算

　　1.集合的运算性质

　　(1)A?A?A,A?A?A(幂等律);(2)A?B?B?A, A?B?B?A(交换律);

　　(3)(A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C)(结合律);

　　(4)A?(B?C)?(A?B)?(A?C),A?(B?C)?(A?B)?(A?C)(分配律);

　　(5)A?(B?A)?A,A?(A?B)?A(吸收律);(6)CU(CUA)?A(对合律);

　　(7)CU(A?B)?(CUA)?(CUB), CU(A?B)?(CUA)?(CUB)(摩根律)

　　(8)A(B?C)?(AB)?(AC),A(B?C)?(AB)?(AC).

　　2. 一般地，对任意两个有限集合A、B，有card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B). 我们还可将之推广为：一般地，对任意n个有限集合A1,A2,?,An,有card(A1?A2?A3???An?1?An) ?[card(A1)?card(A2)?card(A3)???card(An)]?[card(A1?A2)?card(A1?A3)] ???card(A1?An)???card(An?1?An)]?[card(A1?A2?A3)]???card(An?2?An?1?An)] ???(?1)n?1?card(A1?A3???An).

　　【例1】已知A?{y|y?x?4x?3,x?R},B?{y|y??x?2x?2,x?R}.求A?B.

　　【思路分析】先进一步确定集合A、B.

　　【略解】y?(x?2)?1?1,又y??(x?1)?3?3.

　　∴A={y|y??1},B?{y|y?3},故A?B?{y|?1?y?3}.

　　【例2】设集合A?{|n?Z},B?{n|n?Z},C?{n?

　　的是

　　A．A?B?C?D ???2222n21n1|n?Z},D?{?|n?Z},则在下列关系中，成立236（ ） B．A?B??,C?D?? D．A?B?B,C?D?? C．A?B?C,C?D ?

　　12n?1n12n?1?,??,n?Z. 22366

　　n1n1【解法1】∵A?|n?Z},B?{n|n?Z},C?{n?|n?Z},D?{?|n?Z}, 2236【思路分析】应注意数的特征，即n?

　　∴A?B?C,C?D.故应选C. ?

　　【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令

　　高一数学培优之集合 A??{n??n??|n?Z},B??{n?|n?Z},C??{n??|n?Z},D?{?|n?Z}. 2236

　　结论仍然不变，显然A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集

　　合，C′为终边在y轴上的角的集合，D′为终边在y轴上及在直线y??3x上的角的集合，故应选（C）. 3

　　【例3】设有集合A?{x|x2?[x]?2}和B?{x||x|?2},求A?B和A?B（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）.

　　【思路分析】应首先确定集合A与B.从而 ?1?x?2.显然,2?A. ∴A?B?{x|?2?x?2}.

　　若 x?A?B,则x2?[x]?2,[x]?{1,0,?1,?2},

　　从而得出 x?([x]?1)或x??1([x]??1). 于是 A?B?{?1,}

　　【评述】此题中集合B中元素x满足“|x|3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.

　　【例4】设M?{aa?x2?y2,x,y?Z}，求证：

　　（1）2k?1?M,(k?Z)；（2）4k?2?M,(k?Z)；（3）若p?M,q?M，则pq?M.

　　22[证明]（1）因为k,k?1?Z，且2k?1?k?(k?1)，所以2k?1?M.

　　22（2）假设4k?2?M(k?Z)，则存在x,y?Z，使4k?2?x?y，由于x?y和x?y有相同的奇偶性，所

　　22以x?y?(x?y)(x?y)是奇数或4的倍数，不可能等于4k?2，假设不成立，所以4k?2?M.

　　（3）设p?x?y,q?a?b,x,y,a,b?Z，则pq?(x?y)(a?b) 22222222

　　?a2a2?y2b2?x2b2?y2a2?(xa?yb)2?(xb?ya)2?M

　　（因为xa?ya?Z,xb?ya?Z）。

　　【例5】 设A，B是两个集合，又设集合M满足

　　A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?B，求集合M（用A，B表示）。

　　〖分析〗利用子集的定义证明集合相等，先证A?B，再证B?A，则A=B。

　　【解】先证(A?B)?M，若x?(A?B)，因为A?M?A?B，所以x?A?M,x?M，所以(A?B)?M； 再证M?(A?B)，若x?M，则x?A?B?M?A?B.1）若x?A，则x?A?M?A?B；2）若x?B，则x?B?M?A?B。所以M?(A?B).

　　综上，M?A?B.

　　222【例6】A?{xx?3x?2?0},B?{xx?ax?a?1?0},C?{xx?mx?2?0}，若A?B?A,A?C?C，

　　求a,m.

　　〖分析〗分类讨论思想的应用

　　2【解】依题设，A?{1,2}，再由x?ax?a?1?0解得x?a?1或x?1，

　　因为A?B?A，所以B?A，所以a?1?A，所以a?1?1或2，所以a?2或3。

　　2因为A?C?C，所以C?A，若C??，则??m?8?0，即?22?m?22，若C??，则1?C或

　　2?C，解得m?3.

　　综上所述，a?2或a?3；m?3或?22?m?22。

　　【例7】在集合{1,2,?,n}中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 . 〖分析〗已知{1,2,?,n}的所有的子集共有2个.而对于?i?{1,2,?,n},显然{1,2,?,n}中包含i的子集与集合n

　　{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这就说明i在集合{1,2,?,n}的所有子集中一共出现2n?1次,即对所有的

　　高一数学培优之集合 i求和,可得Sn?2n?1(?i).

　　i?1n

　　【解】集合{1,2,?,n}的所有子集的元素之和为2n?1(1?2???n)?2n?1?n(n?1)=n?(n?1)?2n?1. 2

　　〖说明〗本题的关键在于得出{1,2,?,n}中包含i的子集与集合{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.

　　【例8】已知集合A?{x|x2?3x?2?0},B?{x|x2?4ax?3a2?0}且A?B,求参数a的取值范围. 〖分析〗首先确定集合A、B,再利用A?B的关系进行分类讨论.

　　【解】由已知易求得A?{x|?2?x??1},B?{x|(x?a)(x?3a)?0}

　　当a?0时,B?{x|a?x?3a},由A?B知无解;

　　当a?0时,B??,显然无解;

　　当a?0时, B?{x|3a?x?a},由A?B解得?1?a?

　　综上知,参数a的取值范围是[?1,].

　　〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.

　　【例9】已知x?R,y?R?,集合A?{x?x?1,?x,?x?1},B?{?y,?

　　A.5 B.4 C.25 D.10

　　2【解】?(x?1)?0,?x?x?1??x,且?x?x?1?0及集合中元素的互异性知 2222. 323y,y?1}.若A?B,则x2?y2的值是( ) 2

　　x2?x?1??x,即x??1,此时应有x2?x?1??x??x?1.

　　而y?R?,从而在集合B中,y?1??y??y. 2

　　?x2?x?1?y?1(1)?y??x??(2) 由A?B,得?2?(3)???x?1??y

　　由(2)(3)解得x?1,y?2,代入(1)式知x?1,y?2也满足(1)式.

　　?x2?y2?12?22?5.

　　〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.

　　【例10】已知集合A?{x,y,lg(xy)},B?{0,|x|,y}.若A?B,求(x?

　　111)?(x2?2)???+(x2008?2008)的值. yyy

　　高一数学培优之集合

　　高一数学培优之集合

　　高一数学培优之集合 C s是p的充分条件 D p是s的充分条件

　　4．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的（ ）

　　A 逆命题 B 否命题 C 逆否命题 D 以上判断都不对

　　5．设a、b是两个实数，给出下列条件：（1）a+b1；（2）a+b=2；（3）a+b2；（4）a?b?2；（5）ab1。 其中能推出“a、b中至少有一个大于1”的条件共有（ ）

　　A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

　　6．当0?x?1时，函数y?ax?a?1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ） A a?22111 B a?1 C a?或a?1 D ?a?1 222

　　7．已知命题：“若x?0,y?0，则xy?0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，正确的个数是（ ）

　　A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

　　8．方程ax?2x?1?0至少有一个负实数根的充要条件是（ ）

　　A 0?a?1 B a?1 C a?1 D a?0或0?a?1

　　9．已知集合M=a,0,a2?2?，N=?1,2?，M∩N={1}，则满足条件 M∩NA?M?N的集合A的个数是（ ）

　　A 5 B 6 C 7 D 8

　　210．已知集合M?xx?6x?16?0,N??x|(x?k)(x?k?2)?0?, 若M?N??，则实数k的取值范围是??

　　（ ）

　　A k??8或k?0 B k??8或k?0

　　C k??8或k?2 D ?8?k?0

　　11．关于x的不等式ax??b，其解集是xx??1或x?5，则a=，

　　212．已知A=yy??x?2x?1,B?yy?2x?1，则A∩B= ??????

　　13、已知函数f(x)?ax2?(b?8)x?a?ab,当?3?x?2时，其值为正，而当x??3或x?2时，其值为负，则a? ，b?

　　14．某班有学生55人，其中体育爱好者43 人，音乐爱好者34 人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。

　　15．不等式x(x?4)(3?x)?0的解集是

　　16．有下列四个命题：

　　①、命题“若xy?1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③、命题“若m≤1，则x?2x?m?0有实根”的逆否命题； ④、命题“若A∩B=B，则A?B”的逆否命题。 其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）。 2

　　高一数学培优之集合 答 案

　　练习一

　　(1)---(5) DBCDA (6) 2 (7)?， q??，，4? (9)25 （10）?1?，?2?，，?12? (8)?11??2，????

　　??4或2?ba?31 （11）2 （12）?，，，3??13??013，，?0?，?1?，?3?，?01??0，，，，?

　　（13解：(1)∵A=x3?x?7，B={x|210},∴A∪B={x|210}；

　　(2) ∵A=x3?x?7，∴CRA={x| x3或x≥7}

　　∴(CR

　　或7≤x10}

　　(3)如图，

　　∴当a3时，A∩C≠φ (14)． p??4,q?3.

　　练习二

　　1A 2.B 3.D 4.Ａ 5.Ｃ 6.D 7.D 8.D 9.D 10.C

　　11.

　　练习三

　　1、D 2、C 3、D 4. B 5.C 6. C 7. B 8. A 9. B 10. B 11. D 12.C

　　13. 3 14. {1,2,6},{1,2,3,5,6,7,8} 15. (??,?5]?(5,??) 16. ①②④

　　练习四 ??????3?,?1,3?,?2,3?,?1,2,3?? 12.?4,9,16? 13．２５ 14. ???

　　12

　　1、A 2、C 3、D 4、C 5、A 6、D 7、B 8、C 9、C 10、D 11、23 ?

　　12、A 13、a=-3；b=5 14、26 15、 {x|x-4或03} 16、1、2、3

　　设数集M=｛x| m≤x≤m+｝， N=｛x|n－41≤x≤n｝， 且M 、N都是集合｛x|0≤x≤1｝的子集， 如果把b－a叫3

　　（ ）C 作集合｛x| a≤x≤b｝的“长度”， 那么集合M∩N的“长度”的最小值是

　　A．

　　1 3B．215 C． D． 31212