2016年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题答案
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2016年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题答案
2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
（4月24日上午 8:30—11:00）
第一试
一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
?，10}，A是M的子集，且A中各元素的和为8，则满足条件的子1、已知集合M={1,2,3，
集A共有（ ）
A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个
??y?0??2
、在平面直角坐标系中，不等式组?x?2?0表示的平面区域的面积是（ ）
?y?0??
A.
B. 2 C. 2
D. ?????????3、设a,b,c是同一平面内的三个单位向量，且a?b，则(c?a)?(c?b)的最大值是（ ）
A. 1?
B. 1
C. 1 D. 1
,2,?,204、从1
A. 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） 1131 B. C. D. 5101938
25、A,B是抛物线y?3?x上关于直线x?y?0对称的相异两点，则|AB|等于（ ）
A. 3 B. 4
C.
D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为?BCD的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥M?BCD的外接球的表面积为（ ）
3A. ? B. ?
C.
D. 27、设函数f(x)?x?ax?bx?c（a,b,c均为非零整数）.
若f(a)?a，f(b)?b，则c的值是（ ）
A. ?16 B. ?4 C. 4 D. 16
8、设非负实数a,b,c满足ab?bc?ca?a?b?c?
0，则
（ ）
A. 2 B. 3
C. 3332B D
D.
二、填空题（每小题8分，共32分）
9、在数列{an}中，a4?1,a11?9，且任意连续三项的和都是15，则a2016?_______________.
10、设m,n均为正整数，且满足24m?n，则m的最小值是_______________.
11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)?2x，若对x?[1,2]，不等式af(x)+g(2x)?0恒成立，则实数a的取值范围是___________.
12、设x?R，则函数f(x)?|2x?1|?|3x?2|?|4x?3|?|5x?4|的最小值为_________. 4
第二试
xsin
一、（本题满分20分）设x,y均为非零实数，且满足??tan9?． 20xcos?ysin55?ycos?
（1）求
yy的值；（2）在?ABC中，若tanC?，求sin2A?2cosB的最大值． xx
二、（本题满分20分）
已知直线l:y??4，动圆O:x2?y2?r2(1?r?2)，菱形ABCD的一个内角为600，顶点A,B在直线l上，顶点C,D在圆O上，当r变化时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．
三、（本题满分20分）如图，圆O1与圆O2相交于P,Q两点，圆O1的弦PA与圆O2相切，圆O2的弦PB与圆O1相切，直线PQ与?PAB的外接圆O交于另一点R．求证：PQ?QR．
O1??O2?O
四、（本题满分30分）设函数f(x)?lnx?a(?1),a?R，且f(x)的最小值为0，
（1）求a的值； （2）已知数列{an}满足a1?1，an?1?f(an)?2(n?N?)，设1xSn??a1???a2???a3?????an?，其中[m]表示不超过m的最大整数．求Sn．
五、（本题满分30分）设a,b,c为正实数，且满足abc?1，对任意整数n?
2，证明：?
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