概率论习题答案

第一章 随机事件与概率

1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？

它们的联系与区别是：

（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？

两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？

所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用 来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作 。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：

（1

={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。

4．频率与概率有何联系与区别？

事件A的概率是指事件A在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为：

概率的公理化定义：设E为随机试验， 为它的样本空间，对E中的每一个事件A都赋予一个实数，记为P(A)，且满足

（1）非负性：0≤P(A)≤1；

（2）规范性：P( )=1；

（3）可加性：若A1,A2,L,An,L两两互不相容，有P(UAi)=∑P(Ai)。

i=1i=1∞∞

则称P(A)为事件A的概率。

而事件A的频率是指事件A在n次重复试验中出现的次数n(A)与总的试验次数n之比，即n(A)为n次试验中A出现的频率。因此当试验次数n为n

有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件A一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

不过由大数定律保证，频率总能稳定在某个固定数P(A)周围，并且

→∞fn(A) n →P(A)，即频率总有稳定值。该稳定值P(A)称为事件A的概率。

有此得到概率的统计性定义：

在不变条件下做大量重复试验，称在重复试验中事件A发生的频率的稳定值p为事件A的概率，记为P(A)。

概率P(A)的性质如下：

（1）P(φ)=0。

（2）若A1,A2,L,An两两互不相容，则P(UAi)=∑P(Ai)。

i=1i=1nn

（3）若A的对立事件记为，则P(A)=1 P()。

（4）若A B，则P(B A)=P(B) P(A)，且P(A)≤P(B)。

（5）P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)。

此性质可推广到任意有限个事件A1,A2,L,An，即

P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2) P(A1A3)

P(A2A3)+P(A1A2A3)。

P(UAi)=∑P(Ai) ∑P(AiAj)+

i=1i=1i<jnnni<j<kn∑P(AiAjAk)+L+( 1)n 1P(A1LAn)。

熟练掌握概率的诸条性质，有利于简化复杂事件的概率计算，尤其要善于利用性质3，把复杂事件的概率计算转化为计算逆事件的概率。

5．条件概率与无条件概率有何区别与联系？

无论是无条件概率还是条件概率都必需满足公理化定义。由条件概率定

$P(AB)/P(B)P(B)>0，则称P(A|B)=义（若A、B为样本空间 中的两个事件，

为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。）可以看出P(A|B)是在事件“B发生”的条件（新条件）下事件A发生的概率，它与无条件概率（普通概率）P(A)的区别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件（概率公理化定义中的条件）。这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件并非可无。

无条件概率P(A)是在原来的样本空间中计算事件A发生的概率，而条件概率P(A|B)可看作事件B发生后，在缩小的样本空间中计算事件A发生的概率。因此求条件概率的一般方法如下：

（1）事件B发生后，在缩小的样本空间中计算事件A发生的概率P(A|B)；

（2）在样本空间中先计算P(AB)、P(B)，再按定义计算P(A|B)。

当两个事件A、B相互独立时（事件A是否发生不影响事件B发生的概率），有P(AB)=P(A)P(B)，此时P(A|B)=P(A)，即在事件A、B相互独立条件下无条件概率与条件概率是一样的。

6．如何使用全概率公式和Bayes公式?

全概率公式与Bayes公式应用起来较为复杂，但应用比较广泛。在分析应用全概率公式过程中，它把事件A的概率（不太好求）分解成几个比较容易计算的事件概率之和，形似繁琐，实则简单。其关键是寻找一组两两互不相容事件A1，A2，L，An，使要研究的事件A UAi，即

i=1n

A=AA1UAA2ULUAAn，从而使问题转化为求一组两两互不相容的简单事件AA1，AA2，L，AAn的概率，然后用一次加法公式及乘法公式即可。或者把Ai看成A发生的原因，A是结果。而P(Ai)及P(A|Ai)（i=1，2，L，n）是较容易求得的，于是可有“原因”求“结果”。∑P(Ai)=1往往成为是否找对

i=1n

A1，A2，L，An的检验方法。如何找A1，A2，L，An要具体问题具体分析，现提出两点供参考：

（1）A1，A2，L，An可看成导致事件A发生的一组原因，若事件A表示次品，则A1，A2，L，An必表示n个（台）工厂（车间、机器）生产了次品；若事件A表示某种疾病，则必是n种病因A1，A2，L，An导致A发生。这些A1，A2，L，An的概率已知或容易求出，且在A1，A2，L，An发生的条件下A

发生的条件概率已知或容易求出，便可用全概率公式求A的概率。

（2）A1，A2，L，An是导致事件B发生的原因，各种原因的概率P(Ai)称为先验概率，一般由实际或经验给出。而P(Ai|B)是试验之后，找某种原因发生的可能性，它是后验概率，常用Bayes公式求之。因此Bayes公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的条件下，求导

当P(A)、P(A1)及P(A|A1)致结果的某种原因的可能性大小。比如求P(A1|A)，

较容易求得时，就用Bayes公式，它是有“结果” 求“原因”。

7．n个事件相互独立与n个事件两两独立有什么联系与区别？

由n个事件相互独立与n个事件两两独立的定义可知，后者是前者的条件，由前者可以推出后者，即相互独立 两两独立，反之不真。例如：设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4。今任取一张，设事件A为取到1或2，事件B为取到1或3，事件C为取到1或4，则事件A、B、C两两独立，但不相互独立。

事实上，若设Ai表示取到标以数字i（i=1,2,3,4）的卡片，则P(Ai)=。因此，

P(A)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)=1， 214

同理，P(B)=P(C)=，而

P(AB)=P[(A1UA2)I(A1UA3)]=P(A1)=1=P(A)P(B)， 412

同理，

P(AC)=11=P(A)P(C)， P(BC)==P(B)P(C)， 44

1≠P(A)P(B)P(C)， 4所以事件A、B、C两两独立。而 P(ABC)=P[(A1UA2)I(A1UA3)I(A1UA4)]=P(A1)=

所以事件A、B、C不相互独立。