经济数量方法

《数量方法》笔记

第一章 数据的整理和描述

一、 数据的分类：

按照描述的事物分类：

1． 分类型数据：描述的是事物的品质特征，本质表现是文字形式； 2． 数量型数据：事物的数量特征，用数据形式表示； 3． 日期和时间型数据。

按照被描述的对象与时间的关系分类：

1． 截面数据：事物在某一时刻的变化情况，即横向数据；

2． 时间序列数据：事物在一定的时间范围内的变化情况，即纵向数据； 3． 平行数据：是截面数据与时间序列数据的组合。 二、 数据的整理和图表显示：

1． 组距分组法：

1) 将数据按上升顺序排列，找出最大值max和最小值min； 2) 确定组数，计算组距c；

3) 计算每组的上、下限（分组界限）、组中值及数据落入各组的频数vi (个数)和

（频数 组中值）的和 1viyi

频率fi（平均数 ），形成频率分布表； ＝m

频数的和 vi

1

m

4) 唱票记频数；

5) 算出组频率，组中值； 6) 制表。

2． 饼形图：用来描述和表现各成分或某一成分占全部的百分比。注意：成分不要多于

6个，多于6个一般是从中选出5个最重要的，把剩下的全部合并成为“其他”；成分份额总和必须是100％；比例必须于扇形区域的面积比例一致。

3． 条形图：用来对各项信息进行比较。当各项信息的标识（名称）较长时，应当尽量

采用条形图。

4． 柱形图：如果是时间序列数据，应该用横坐标表示时间，纵坐标表示数据大小，即

应当使用柱形图，好处是可以直观的看出事物随时间变化的情况。

5． 折线图：明显表示趋势的图示方法。简单、容易理解，对于同一组数据具有唯一性。 6． 曲线图：许多事物不但自身逐渐变化，而且变化的速度也是逐渐变化的。具有更加

自然的特点，但是不具有唯一性。

7． 散点图：用来表现两个变量之间的相互关系，以及数据变化的趋势。

8． 茎叶图：把数据分成茎与叶两个部分，既保留了原始数据，又直观的显示出了数据

的分布。

三、 数据集中趋势的度量：

1． 平均数：容易理解，易于计算；不偏不倚地对待每一个数据；是数据集地“重心”；

缺点是它对极端值十分敏感。

全体数据的总和

平均数＝

数据的个数

1n

x x1

ni 1

2． 中位数：将数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数或最中间的两个数的

平均数。它的优点是它对极端值不像平均数那么敏感，因此，如果包含极端值的数据集来说，用中位数来描述集中趋势比用平均数更为恰当。

3． 众数：数据中出现次数最多的数。缺点是一个数据集可能没有众数，也可能众数不

唯一；优点在于它反映了数据集中最常见的数值，而且它不仅对数量型数据（数据都是数值）有意义，它对分类型数据集也有意义；并且能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。 4． 分组数据的平均数（加权平均）：

（频数 组中值）的和 1viyi

m为组数，vi为第i组频数，yi为平均数 ＝m

频数的和 vi

1

m

第i组组中值。

四、 数据离散趋势的度量：

1． 极差R＝最大值max－最小值min

2． 四分位点：第二四分位点Q2就是整个数据集的中位数；第一四分位点Q1是所有小

于（或等于）Q2的数据所组成的数据集的中位数；第三四分位点Q3是所有大于（或等于）Q2的数据所组成的数据集的中位数。四分位极差＝Q3－Q1，它不像极差R那么容易受极端值的影响，但是仍然存在着没有充分地利用数据所有信息地缺点。 3． 方差：离平均数地集中位置地远近；

22nx n1 i

2 (xi )2

ni 1n

viyi2

1

( viyi)2

vi

vi

vy

i

2

i

n2

n

vi是频数，yi是组中值，n vi即数据的个数，

的平均数。 4． 标准差：

vyv

ii

i

即用分组数据计算

2。

变异系数：表示数据相对于其平均数的分散程度。

V

100％

第二章 随机事件及其概率

一、随机试验与随机事件： 1． 随机试验：

a) 可以在相同的条件下重复进行； b) 每次试验的可能结果可能不止一个，但是试验的所有可能的结果在试验之前是

确切知道的；

c) 试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。 2． 样本空间 ：

a) 所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，是必然时间；

b) 样本空间中每一个基本事件称为一个样本点；

c) 每一个随机事件就是若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的子集； d) 不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件 。

3． 样本空间的表示方法： a) 列举法： b) 描述法：

二、事件的关系和运算 1. 事件的关系：

a) 包含关系：事件A的每一个样本点都包含在事件B中，或者事件A的发生必然

导致事件B的发生，成为事件B包含事件A，记做A B或者B A。若

A B且B A则称事件A与事件B相等，记做A＝B。

b) 事件的并：事件A和事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并，

记做A B或者A B。

c) 事件的交：事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，记做

A B或者AB。

d) 互斥事件：事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件

A与事件B是互斥的，否则称这两个事件是相容的。A B 。

e) 对立事件：一个事件B若与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间

Ω，则称事件B是事件A的对立事件，或逆事件。事件A的对立事件是，

A ，A 。

f) 事件的差：事件A发生，但事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，

记做A－B。

2．运算律：

a) 交换律：A B B A，A B B A;

b) 结合律：A (B C) (A B) C，A(BC) (AB)C; c) 分配律：

A (B C) (A B) (A C)，A (B C) (A B) (A C)：

d) 对偶律： 。

三、事件的概率与古典概型：

1. 事件A发生的频率的稳定值 p称为事件A发生的概率，记做：P(A) p，

0 p 1。

2. 概率的性质：

a) 非负性：P(A) 0； b) 规范性：0 p 1；

c) 完全可加性：P( Ai)

i 1

P(A)；

i

i 1

d) P( ) 0；

e) 设A，B为两个事件，若A B，则有P(B A) P(B) P(A)，且

P(B) P(A)；

3. 古典概型试验与古典概率计算：

a) 古典概型试验是满足以下条件地随机试验：

① 它的样本空间只包含有限个样本点； ① 每个样本点的发生是等可能的。

b) 古典概率的计算：P(A)

NA

； N

c) 两个基本原理：

① 加法原理：假如做一件事情有两类办法，在第一类办法中有m种不同方

法，而在第二类办法中有n种不同方法，那么完成这件事情就有m+n种不同方法。加法原理可以推广到有多类办法的情况；

① 乘法原理：假设做一件事情可以分成两步来做，做第一步有m种不同方

法，做第二步有n种不同方法，那么完成这件事情有mn种不同方法。乘法原理也可以推广到多个步骤的情形。

4. 条件概率：在事件B发生的条件下（假定P（B）>0），事件A发生的概率称为事

件A在给定事件B下的条件概率，简称A对B的条件概率，记做：

P(A|B)

P(AB)

； P(B)

5. 概率公式：

a) 互逆：对于任意的事件A，P() P(A) 1； b) 广义加法公式：对于任意的两个事件A和B，

P(A B) P(A) P(B) P(AB)，

广义加法公式可以推广到任意有限个事件的并的情形，特别地：

P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)

c) 减法公式：

P(A B) P(A) P(AB)——→A B，则P(A B) P(A) P(B)；

d) 乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B|A），P（A）≠0；

e) 全概率公式：设事件A1，A2，…, An两两互斥，A1+A2+……＋An＝Ω（完备

事件组），且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n则对于任意事件B，有：

P(B)

f)

P(A)P(B|A)；

i

i

i 1

n

贝叶斯公式：条件同上, 则对于任意事件B，如果P（B）>0，有：

P(Ai|B)

P(Ai)P(B|Ai)

P(A)P(B|A)

i

i

i 1

n

；

第三章 随机变量及其分布

取值带有随机性，但取值具有概率规律的变量称为随机变量。 一、离散型随机变量：取值可以逐个列出

1. 数学期望：

1) 定义：Ex

xp

ii

i

，以概率为权数的加权平均数；

2) 性质：Ec = c (常数期望是本身)

E（ax） = aEx (常数因子提出来) E（ax+b）= aEx+b (一项一项分开算)

2. 方差：

1) 定义：Dx E(x Ex)

2

(x Ex)

ii

2

pi；

2) 性质：Dc =0 （常数方差等于0）

D(ax) =a2Dx （常数因子平方提） D (ax+b) =a2Dx

3) 公式：Dx E(x) (Ex)（方差＝平方的期望－期望的平方）； 3. 常用随机变量： 1) 0-1分布：

① 随机变量X只能取0，1这两个值； ① X～B（1，p）；

① Ex＝p Dx＝p(1-p) 2) 二项分布：

a) 分布律：P(X k) Cnp(1 p)b) X～B（n，p） c) Ex=np

k

k

n k

2

2

，k 0，1，2， n；