磁场分布测量

　　磁场的测量有许多方法，常用的有电磁感应法，半导体（霍耳效应）探测法和核磁共振法。本实验使用的是电磁感应法测量磁场，它是以简单的线圈作为测量元件，利用电磁感应原理直接测量亥姆霍兹（Helmholtz）线圈产生的磁场。值得一提的是本实验所使用的亥姆霍兹线圈在物理研究中有许多用处，如产生磁共振，消除地磁的影响等，获1997年诺贝尔物理奖的实验中，就有若干对这种线圈，因此熟悉这种线圈产生的磁场是很有意义的。

　　1. 实验目的

　　（1）学习电磁感应法测磁场的原理；

　　（2）学习用探测线圈测量载流线圈的磁场的方法；

　　（3）验证矢量叠加的原理；

　　（4）了解亥姆霍兹线圈磁场的特点。

　　2. 实验原理

　　（1）电磁感应法测磁场

　　当导线中通有变化电流时，其周围空间必然产生变化磁场。处在变化磁场中的闭合回路，由于通过它的磁通量发生变化，回路中将有感应电动势产生。通过测量此感应电动势的大小就可以计算出磁场的量值。这就是感应法测磁场的实质。 因为磁场是一矢量场，所以测量磁场的任务，就是要测出场中各点的磁感应强度的大小和方向。 为叙述简单起见，先假定有一个均匀的交变磁场，其量值随时间t按正弦规律变化

　　Bi??Bmsin??t

　　式中Bm为磁感应强度的峰值，其有效值记作B，ω为角频

　　率。再假设置于此磁场中的探测线圈T（线圈面积为S，共

　　有N匝）的法线n与Bm之间的夹角为θ，如图1所示，则

　　通过T的总磁通φi为

　　??i??NS??Bi??NSBmsin??tcos?? 由于磁场是交变的，因此在线圈中会出现感应电动势，其

　　值为 d??i e????????NS??Bmcos??tcos?? 图1感应法测磁场原理图 dt

　　（1）

　　如果把T的两条引线与一个交流数字电压表连接，交流数字电压表的读数U表示被测量值的有效值（rms），当其内阻远大于探测线圈的电阻时有

　　U??erms??NS??Bcos?? （2）

　　从（2）式可知，当N，S，ω，B一定时，角θ越小，交流数字电压表读数越大。当?? =0时，交流数字电压表的示值达最大值Umax，（2）式成为

　　（3） 测量时，把探测线圈放在待测点，用手不断转动它的方位，直到数字电压表的示值达到最大为止。把所得读数Umax代入（3）式就可算出该点的磁场值。

　　B的方向本来可以根据数字电压表的示值最大时探测线圈的法线n的方向来确定，但这样做磁场方向不容易定准，不如根据数字电压表读数为最小（实际为零）来判断磁场方向较为准确。这是因为这时探测线

　　圈的n与磁场方向垂直，而U对θ的导数在θ=π/2时最大。

　　值得指出的是，公式（3）是用普通的探测线圈在均匀场条件下得出来的。如果磁场分布不均匀，情况就复杂多了。用普通探测线圈只能测出线圈平面内磁感应强度法向分量的平均值，而不能测出非均匀磁场中各点的值，除非将探测线圈做得非常小，但这又会使NS很小而降低测量的灵敏度。为解决这一矛盾，人们设计出一种特殊尺寸的圆柱形线圈，用它探测非均匀场时，保证平均场同探测线圈几何中心上的磁场相等。这种线圈满足如下条件：①线圈长度L和外径d0之比为0.72（或近似取为2/3）；②内径di不大于外径d0的1/3（本实验中取di=d0/3）；③线圈体积适当小。这样，线圈的平均面积S为

　　S??

　　132

　　??d0 108

　　（4）

　　在上述条件下，将磁场在线圈中心附近用泰勒级数展开，可以求出通过线圈的总磁通φ和线圈中心磁感应强度B0的关系为

　　????NSB0

　　（5）

　　这样，就可用B0和平均面积S代入（3）式，并将ω以2πf代入，可得

　　B0??

　　108Um

　　ax

　　2

　　13N??d0??

　　??

　　108Umax

　　2

　　26N??2fd0

　　（6）

　　式中f为磁场变化的频率。N和d0分别为探测线圈的匝数和外径，

　　Umax为感应电压最大值。当Umax用V作单位、d0用m作单位时，

　　由（6）式求得的B0单位为T。实验中所用的探测线圈外形图见图2。

　　当频率f和探测线圈一定时，（6）式可改写为

　　B0??kUmax

　　（7）

　　式中

　　k??

　　108

　　2

　　26N??2fd0

　　（8）

　　图2 圆柱形探测线圈

　　（2）载流圆线圈和亥姆霍兹线圈的磁场

　　① 载流圆线圈的磁场

　　设有一半径为R的线圈，通以电流，如图3所示。根据毕奥-B。它是一个非均匀磁场，其方向沿轴线方向，其量值为

　　2 （9）

　　式中N0是圆线圈的匝数，R为圆线圈的平均半径，I为线圈中的电流（本实验中应以有效值代入），x为轴

　　??7

　　线上观测点离圆线圈中心O的距离。以上各量均采用SI单位，式中??0= 4π??10H/m（亨利每米）为真空磁导率。

　　② 亥姆霍兹线圈的磁场

　　理论计算表明，如果有一对相同的载流圆线圈彼此平行且共轴，通以同方向电流I，当线圈间距a等于线圈半径R时，则两个载流线圈的总磁场在轴的中点附近的较大范围内是均匀的，这对线圈称为亥姆霍兹线圈，如图4(a)所示。轴上磁场分布的示意图如图4(b)所示。它在科学实验中应用较广泛，尤其是当所需均匀磁场不太强时，亥姆霍兹线圈能较容易地提供范围较大而又相当均匀的磁场。

　　磁场在中点附近的均匀性证明如下：

　　各单个线圈在轴线上离二线圈中心O点的距离为x的一点处的磁场分别为：

　　BI??BII??

　　??0NI

　　2

　　R

　　R2

　　2

　　??(x??a2)2

　　R

　　2

　　32

　　??0NI

　　2

　　32

　　R

　　2

　　??(x??a2)2

　　合成后在x=0处展开

　　dB

　　B??BI??BII??B0??

　　dx

　　1d2Bx??

　　2!dx2x??0

　　x2????

　　x??0

　　对于这样的泰勒展开式，由于对称性可以证明所有奇次阶微分在x=0处均为零。而对偶次阶，当a=R时

　　d2Bdx2

　　x??0

　　??0，所以

　　1d4B

　　B??B0??

　　4!dx4

　　??144??x??4??

　　x??????B0??1????????????

　　125??R??????x??0????

　　4

　　可知在轴线中心区磁场是很均匀的，例如在x=R/3处，方括号中第二项为1.4%。

　　I

　　图3载流圆线圈轴线上的磁场分布 图4亥姆霍兹线圈轴线上的磁场

　　3. 实验仪器

　　非均匀磁场测量仪器包括主体载流圆线圈、探测线圈以及给圆线圈供电的信号发生器、串进圆线圈供5所示。

　　① 载流圆线圈：两个完全相同的圆线圈I和II平行共轴地竖直装在仪器底板上，其间距可调可测，R=11.0cm。每个线圈匝数N0=500匝。I和II线圈的接线端分别在线圈下方支撑柱上，以红黑代表电流方向，线圈可单独通电，也可串联接通。当间距等于R且串联同向通电时组成亥姆霍兹线圈。圆线圈底板上另用支柱架设了有机玻璃板，其上用小孔定位了测量点的坐标，当探测线圈插入到测量孔位时，其中心轴线正好位于载流圆线圈轴线所处的水平面内。