第十一讲导数在函数的单调性、极值、最值中的应用

　　2017/5/26

　　导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

　　一、知识梳理： 1．单调性与导数

　　1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数；

　　若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?

　　f?(x) 0在?

　　a,b?上恒成立； f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x)0在?a,b?上恒成立。

　　2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

　　① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

　　1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

　　注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值之间大小关系: ；④函数的极值点一定在定义域内。 2）求函数f(x)的极值的步骤：

　　① ；② ；③ ． 3．最值与导数

　　求函数f(x)在闭区间[a,b]上最值的步骤：

　　① ；② ．③ ．

　　二、典型例题

　　例1. ①函数f(x)?x3

　　?15x2

　　?33x?a 的单调增区间 。

　　②函数f(x)?12

　　x2

　　?4lnx 的单调减区间 ；极__值__值

　　③已知函数f(x)?x2ex，e为自然对数的底数。求函数f(x)在区间[-1,1]上的最值。

　　例2. 已知函数f(x)?x3?ax2?3x?c，且g(x)?f(x)?2是奇函数．

　　（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间．

　　例3.已知函数f(x)??x3?3x2?9x?a在区间[?2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

　　例4 已知函数f?x??

　　12

　　x2

　　?alnx(a?R) （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程为y?x?b，求a、b的值；

　　（Ⅱ）若函数f(x)在(1,??)上是增函数，求a的取值范围。

　　1

　　5

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　　例5. 已知函数f(x)?alnx?

　　1

　　x

　　，a?R． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值；

　　（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）当a?1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5．

　　导数在函数的单调性、极值、最值中的应用

　　1.函数y?f(x)在一点的导数值为0是函数y?f(x)在这点取极值的（ ）A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D必要非充分条件

　　2.函数f(x)?x3

　　?3ax?b(a?0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是 ( )

　　A. （-1，1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （-2，-1）

　　3.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )

　　A．①、②

　　B．①、③ C．③、④ D．①、④

　　4.函数f(x)?ax3

　　?bx2

　　?cx?d的图象如图，且f(x)在x?x0与x?2处取得极值，则f?(1)?f?(?1)的值一定（ ）. A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0

　　5.函数y?2x3?3x2

　　?12x?5在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______.6.对于给定的函数f(x)?x?

　　1

　　x

　　(x?0)，有以下四个结论： ①f(x)的图象关于原点对称；②f(x)在定义域上是增函数； ③f(x)在区间(0,1]上为减函数，且在[1,??)上为增函数；

　　④f(x)有最小值2。 其中结论正确的是_____________.

　　7.（10年安徽） 设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R,求f?x?的单调区间与极值；

　　8.已知函数f?x??

　　x?1

　　x?a

　　?ln?x?1?,其中实数a?1。 1）若a=-2，求曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程； 2）若f?x?在x=1处取得极值，试讨论f?x?的单调性。

　　9.已知函数f(x)?ax3?x2

　　?bx(其中常数a,b∈R),g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数.

　　(Ⅰ)求f(x)的表达式;(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

　　10.）设函数f?x??ax3?bx2?cx?3?a?a,b,c?R,且a?0?。当x??1时,f?x?取得极大值2, ①用关于a的代数式分别表示b和c； ②当a?1时，求f?x?的极小值； ③求a

　　的取值范围

　　1

　　6