2018版 重点强化卷2 万有引力定律的应用

　　重点强化卷(二) 万有引力定律的应

　　用

　　一、选择题

　　1．两个密度均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为10－8N，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为( )

　　A．10－8N

　　C．410－8N B．0.2510－8 N D．10－4N

　　Mm【解析】 原来的万有引力为：F＝r

　　2M2mMm后来变为：F′＝G＝ r?2r?即：F′＝F＝10－8N，故选项A正确．

　　【答案】 A

　　2．牛顿在建立万有引力定律的过程中，对苹果落地现象曾产生过无尽的遐想；已知地球的半径为6.4106 m，地球自转的角速度为7.27105 rad/s，地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9103 m/s，第三宇宙速度为16.7103 m/s，月地中心间距离为3.84108 m．假设地球上有一棵苹果树长到了月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将( )

　　A．落回地面

　　B．成为地球的同步“苹果卫星”

　　C．在月球所在的轨道上绕地球运动

　　D．飞向茫茫宇宙

　　【解析】 将月球位置的苹果在随地球转运的过程中与地球的同步卫星进行比较，很显然，那个位置下的苹果的线速度会大于同步卫星的线速度，所以，当苹果脱离时万有引力不足以提供向心力，苹果会做离心运动，故会飞向宇宙．

　　【答案】 D

　　3．关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是( )

　　A．已知它的质量是1.24 t，若将它的质量增为2.84 t，其同步轨道半径将变为原来的2倍

　　1

　　B．它的运行速度大于7.9 km/s

　　C．它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用它进行电视转播

　　D．它距地面的高度约为地球半径的5倍，故它的向心加速度约为其下方地

　　1面上物体的重力加速度的36

　　【解析】 同步卫星的轨道半径是固定的，与质量大小无关，A错误；7.9 km/s是人造卫星的最小发射速度，同时也是卫星的最大环绕速度，卫星的轨道半径越大，其线速度越小．同步卫星距地面很高，故其运行速度小于7.9 km/s，B错误；

　　Mm同步卫星只能在赤道的正上方，C错误；由Gman可得，同步卫星的加速rMM1M1度an＝GrG＝g，故选项D正确． ?6R?36R36

　　【答案】 D

　　4．如图1所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，某一时刻它们恰好在同一直线上，下列说法中正确的是(

　　)

　　图1

　　A．根据v＝gr可知，运行速度满足vAvC

　　B．运转角速度满足ωAωC

　　C．向心加速度满足aAaC

　　D．运动一周后，A最先回到图示位置

　　v2Mm【解析】 由Grmrv＝

　　Mm错误；由Grmω2r得，ω＝r，r大，则v小，故vAvC，AGM

　　r，r大，则ω小，故ωAωC，B错误；

　　MmGMMm4π2由Grma得，a＝rr大，则a小，故aAaC，C正确；由Gr＝mTr得，T＝2πrGM，r大，则T大，故TATC，因此运动一周后，C最先回到

　　图示位置，D错误．

　　【答案】 C

　　2

　　5．(多选)据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”．假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍．则该行星与地球的( )

　　3A．轨道半径之比为pq

　　3B．轨道半径之比为p

　　3qC p

　　D．线速度之比为1

　　p

　　Mm【解析】 行星公转的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律，有R3GMT4π2

　　＝mT，解得：R＝4π，该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍，故：3R橙＝R太M橙T行v行R行T地32πR13?2＝qp，故A正确，B错误；根据v＝T，＝＝qppM太T地v地R地T行3qp，故C正确，D错误．

　　【答案】 AC

　　6．银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为( )

　　4π2r2?r－r1?A. GT34π2rB.GT4π2r3

　　C.GT3

　　4π2r2r1D.GT【解析】 设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛

　　mm2π24π2r2r顿定律得，对S1有Gr＝m1(Tr1，解之可得m2＝GT，则D正确，A、B、

　　C错误．

　　【答案】 D

　　7．假设神舟十一号载人飞船绕地球飞行的周期约为T，离地面的高度为h.地球表面重力加速度为g.设神舟十一号绕地球做匀速圆周运动，则由以上数据无法估测( )

　　A．地球的质量

　　C．地球的半径 B．神舟十一号的质量 D．神舟十一号的线速度大小

　　【解析】 设地球质量为M，半径为R，神舟十一号质量为m，由万有引力

　　Mm?2π22定律和牛顿第二定律得，G(R＋h)，黄金代换公式GM＝gR，由m??T??R＋h?已知量T、h、g，两式可以求出地球的质量M和地球的半径R，再由vGM

　　r

　　和GM＝gR2可求得神舟十一号的线速度大小，由第一式可看出神舟十一号的质量不能求出，故选B.

　　【答案】 B

　　8．嫦娥三号探测器绕月球表面附近飞行时的速率大约为1.75 km/s(可近似当成匀速圆周运动)，若已知地球质量约为月球质量的81倍，地球第一宇宙速度约为7.9 km/s，则地球半径约为月球半径的多少倍？( )

　　A．3倍

　　C．5倍 B．4倍 D．6倍

　　【解析】 根据万有引力提供向心力知，当环绕天体在中心天体表面运动时，

　　v2Mm运行速度即为中心天体的第一宇宙速度，由GR＝mR解得：vR，故地

　　2RMv2球的半径与月球的半径之比为RM 4，故B正确，A、C、D错误．22v1

　　【答案】 B

　　9．如图2所示，a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上匀速运行的四

　　4

　　颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上．某时刻b卫星恰好处于c卫星的正上方．下列说法中正确的是(

　　)

　　图2

　　A．b、d存在相撞危险

　　B．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度

　　C．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度

　　D．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度

　　【解析】 b、d在同一轨道，线速度大小相等，不可能相撞，A错；由a向GM＝r知a、c的加速度大小相等且大于b的加速度，B对；由ω＝ c的角速度大小相等，且大于b的角速度，C错；由v＝

　　度大小相等，且大于d的线速度，D错．

　　【答案】 B

　　10．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零．“蛟龙”下潜深度为d.天宫一号轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )

　　R－dA. R＋h

　　?R－d??R＋h?C. R?R－d?2B. ?R＋h??R－d??R＋h?2D. Rr知，a、GMr知a、c的线速

　　【解析】 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小

　　GM43相等，有：g＝RM＝ρ3πR，所以重力加速度的表达式

　　GM可写成：g＝R＝4Gρ3R3

　　R43GρR.

　　根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万

　　5

　　4有引力，故海底的重力加速度g′＝3Gρ(R－d)．

　　g′R－dMm所以有g＝R根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”?R＋h?的加速度a＝GM ?R＋h?2g′?R－d??R＋h?aR2

　　所以g＝，所以，故D正确，A、B、C错误．故a＝R?R＋h?选D.

　　【答案】 D

　　二、计算题

　　11．经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心(银心)的圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3104光年(约等于2.81020m)，转动一周的周期约为2亿年(约等于6.31015s)．太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看做集中在银河系中心来处理问题．(G＝

　　6.6710－11Nm2/kg2)

　　用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量．

　　【解析】 假设太阳轨道内侧这些星体的总质量为M，太阳的质量为m，轨道半径为r，周期为T，太阳做圆周运动的向心力来自于这些星体的引力，则

　　Mm4π2

　　r＝mTr

　　故这些星体的总质量为

　　22034π2r34?3.14??2.810?M＝GTkg 6.6710－?6.310?≈3.31041kg.

　　【答案】 3.31041kg

　　12．质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.

　　(1)求两星球做圆周运动的周期；

　　(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认

　　6

　　为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.981024 kg和7.351022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留三位小数

　　)

　　图3

　　【解析】 (1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设OB为r1，OA为r2，则

　　Mm4π2

　　对于星球B：GL＝MT1

　　Mm4π2

　　对于星球A：GL＝mT2

　　其中r1＋r2＝L

　　由以上三式可得T＝2πL. G?M＋m?

　　(2)对于地月系统，若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知地球和月球的运行周期T1＝2πL G?M＋m?

　　Mm若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力与天体运动的关系：L4π2

　　＝TL 2

　　解得T2＝GMT2M＋m则T＝M＝1.012. 1

　　【答案】 L(2)1.012 G?M＋m?

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