毕业论文范文

南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院

毕 业 论 文（设 计）

（ 一 五 届）

题 目： 等价无穷小量代换的推广及应用 院（系、部）： 专 业： 姓 名： 学 号 指导教师：

南京师范大学泰州学院教务处 制

摘要：随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。本文利用2011年全国大学生数学建模竞赛A题所给数据，借助MATLAB软件绘制了采样点的位置分布图。通过MAPGIS软件的空间分析功能分别绘制了各重金属的空间分布等值线和表面图。通过对污染指数、变异系数等的计算，对研究区的重金属污染进行了定量的分析；建立因子分析模型研究了采样区的重金属污染的主要原因。在以上分析的基础上，为对该城区不同区域的重金属污染程度进行综合评价，将污染等级分为清洁、尚清洁、轻污染、中污染以及重污染五级，利用熵值法确定了八种污染物的权重，然后利用模糊综合评价法对不同区域的的重金属污染程度进行了评价，通过实证分析表明该方法是合理、可行的。最后，针对以上的分析结果，提出了应对城市土壤重金属污染的对策。

关键词：城市土壤；重金属污染；数学软件；因子分析；模糊综合评价

Abstract: According to the development of economy and the cities increased, human activities have a noteworthy influence in the environment of urban. Based on the dates of heavy metal elements in soils from CUMCM 2011. The distribution map of the location of sampling points was drawn with MATLAB; the spatial distribution of the contour and surface maps of various heavy metals were drawn with the space analysis functions of MAPGIS software. By the calculation of the pollution index, coefficient of variation and so on, the quantitative analysis of heavy metal pollution of the area was studied; And then the factor analysis model was established to study the main reason for heavy metal contamination of the sampling area. On the basis of the above analysis, the method of entropy weighing fuzzy mathematics is used to evaluate the characteristics of heavy metal pollution in urban soil. The results show that the method more scientific and rational.

Keywords: urban soils; heavy metal pollution; mathematical software; factor analysis; fuzzy comprehensive evaluation

目录

1 绪论 ......................................................... 3

1.1 研究目的及背景 .................................................... 3

1.2 国内外研究现状 .................................................... 3 1.3 本文解决的主要问题 ................................................ 3

2 引言与预备知识 ............................................... 4

2.1 等价无穷小的基本概念与常见的一些等价无穷小 ........................ 4 2.2 等价无穷小代换定理 ................................................ 6 2.3 运用整体思想进行无穷小代换 ........................................ 8 2.4 等价无穷小量代换涉及的一些常见问题 ................................ 9

3 等价无穷小代换的推广 ........................................ 11

3.1 加减运算的等价无穷小的代换 ....................................... 13 3.2 幂指函数中的等价无穷小的代换 ..................... 错误！未定义书签。 3.3 变限积分函数中的等价无穷小代换 ................................... 17

4等价无穷小代换的应用 ........................................ 17 谢 辞 ......................................................... 18 参考文献 ...................................................... 19 附录 .......................................... 错误！未定义书签。

1 绪论

1.1 研究目的及意义

目的：一般教科书只给出等价无穷小量在乘除中的代换定理，这对于其他形式:无穷小的和与差的极限，幂指函数的极限，变限积分函数的极限类型就不适用了。本文主要目的就是把等价无穷小替换定理加以推广，从而扩大使用范围。

意义：等价无穷小代换是计算未定式极限的一种重要方法，用它可以解决某些其他方法难以求解的极限问题，达到化繁为简，化难为易的目的。

1.3 国内外研究现状

由于等价无穷小量代换的推广及应用在高等数学中处于十分重要的地位，因此等价无穷小量代换中的相关问题一直受到国内外众多学者的关注，如2001年，针对本国等价无穷小研究现状，于延荣给出了《关于等价无穷小代换的若干结论》，姜根明,魏孝章在2003年给出了《等价无穷小的极限定理》，中国的教育学者对等价无穷小的应用也一直在研究，如2002年李秀敏,王灵色的《等价无穷小代换在求极限中的应用》，2011年屈红萍,赵文燕的《等价无穷小代换求极限的方法推广》等，在极限中结合不同方法解题方面，很多学者也进行了研究，如2010年杨爽的《一类变上限积分的等价无穷小量研究》，给出了利用等价无穷小求变上限积分的方法，2013年冯国勇的《结合等价无穷小替代法、麦克劳林公式求极限》将等价无穷小与麦克劳林公式结合来解决问题。等价无穷小代量换是高等数学求极限的一个重要组成部分，关于等价无穷小量代换的推广及应用的研究还有待进一步完善。

1.4 本文解决的主要问题

随着数学研究在国内外学术交流中的发展，等价无穷小量代换的应用与推广在高等数学中的影响日显突出。本文利用获得的海量数据资料开展学习等价无穷小量的代换，归纳起来，本文的主要研究内容如下：

（1）利用文献中的知识给出等价无穷小的基本概念与性质；

（2）分析牢记等价无穷小代换定理并学会用整体思想进行无穷小代换；

（3）通过结合错误的等价无穷小代换算式得出等价无穷小量代换中涉及的问题； （4）运用概念及定理推广在加减运算及幂指函数运算中的等价无穷小代换； （5）结合所研究得到的资料知识，学习变限积分函数中存在的等价无穷小量问题并给出证明；

（6）针对以上的资料及结论，给出一些等价无穷小代换的应用。

2 引言与预备知识

2.1 等价无穷小的基本概念与一些常见的等价无穷小

[9]

定义1 假设f在某个0(x0)区间内有定义，如果limf(x) 0，那么我们则称f为当

x x0

x x0时的无穷小量。

当x x0,x0, 时，有类似定义的无穷小量。

特别地，我们称以零为极限的数列 xn 为n 时的无穷小。

注意2.1.1 不要将无穷小和很小的数（如千万分之一）混为一谈，因为无穷小量在x x0的过程中，它的绝对值能小于任意给定的正数它的绝对值能小于，但是很小的数例如千万分之一却不能小于给定的这个 。但值得注意的是，零是可以作为无穷小的唯一一个常数，因为若f x 0，则对于任意给定的正数 ，总有f x 。

定义2

[9]

假设f x 与g x x x0 均为无穷小，且g x 0，如果lim

x x0

f(x)

1，g(x)

则称f x 与g x 是等价无穷小，记作f(x)~g(x)(x x0)。

由此可见，f x 与g x “等价”即这两个无穷小量趋于0的速度是“基本相当”的。

等价无穷小量具有反身性，对称性，传递性等性质，即：

假设f,g,h在0(x0)有定义，并且f(x)~g(x)(x x0)，g(x)~h(x)(x x0)，则

1

f(x)~f(x)(x x0)（反身性）；

f(x)(x x0)（对称性）；

2 如果f(x)~g(x)(x x0)，那么g(x)~

3 如果f(x)~g(x)(x x0)，g(x)~h(x)(x x0)，

那么f(x)~h(x)(x x0)（传递性）。

应用等价无穷小代换，我们必须记住一些常用的等价无穷小，例如： 当x 0时，

1

(1)1 cosx~secx 1~x2;

2

(2)sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex 1~ln(1

x)~x;

1~

x; n