三维空间多边形的位置不确定性度量模型

第４武汉大学学报·信息科学版０卷第１期http://wendang.chazidian.com/kcms/doi/10.13203/j.whugis20130174.html网络出版地址：２０１５年１月ＧｅｏｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：／犇犗犐１０．１３２０３．ｗｈｕｉｓ２０１３０１７４ｊｇ

网络出版时间：2015-01-08 10:50

Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．１

Ｊａｎ．２０１５

文章编号：（）１６７１８８６０２０１５０１００２６０６

三维空间多边形的位置不确定性度量模型

卞玉霞１　刘学军１　甄　艳１

１　南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室，江苏南京，２１００２３

摘　要：在研究三维空间线元置信域模型的基础上，研究了三维空间多边形的位置不确定性。借鉴三维空间线元的置信域建模原理，

域模型；基于积分学原理，提出了三维空间多边形置信域度量模型。域度量模型可以应用于工程等领域的质量控制过程。关键词：三维空间多边形；置信域；度量；房屋面积中图法分类号：Ｐ２０８　　　文献标志码：Ａ

ＩＳ的核心研　　空间实体的位置不确定性是Ｇ

究课题之一，其精度对ＧＩＳ应用具有较大的影响。对空间实体位置不确定性的研究逐渐引起较

１］多学者的关注［。

状，间多边形的位　终止端点连接而成的，所有点（包含线的不确定性引起的；而多边形是由其边的内点组成的，其位置不确定（包括组成边界线的点）的位置不确定性引起的。线元和多边形的位置不确定性均是由于点元的位置不确定性引起的。三维空间多边形的位置不确定性可以借鉴三维空间线元的位置不确定性等相关理论。因此，本文首先研究三维空间线元的位置不确定性建模过程。

如图１所示，已知线元两端点犘、犙的位置坐标，根据直线参数方程，三维空间线元犘犙上待定点犚的位置坐标可以表示为：

空间实体包括点、线、多边形（或称ＧＩＳ面实体、面元）等类型。如常用的误差椭圆、误学领域中已有较多的研究，

差椭球等。传播定律、相继提出

［］［３，４］了ε置信域模型［带模型２、带型５σ模］［］［］６７１１］２型［和ε、、等犎带模型８ε犿模型犈线元的位置不模也发曲此基础上，

１３１５］线和多边形的位置误差模型等［间线状实体的位置不确定性。［６］２４定性研究已经从模型构建发展到Ｇ，ＩＳ应用１

二维空间多边形的位置不确定性研究已经取得了较为丰硕的成果。

空间实体的不确定性研究主要集中在以下几方面：多边形的位置不确定性①二维空间线元、研究，较少对三维空间实体的位置不确定性进行研究，如三维空间多边形的位置不确定性研究；如误差椭圆、②空间实体不确定性的形状刻画，哑铃型或棒槌型形状等，较少研究空间实体的误差度量模型。因此，本文以三维空间多边形为研究对象刻画三维空间多边形的位置不确定性形

收稿日期：２０１３０５２４

狓狓１－狉）狔＋狉狔＝（

狕狕犚犘犙

（）１

其中狉是犘。犚与犘犙长度比，狉∈［０，１］

三维空间线元置信域模型是一个将线元真实位置包围在内的三维空间域，是组成线元上所有点元置信域的并集，其大小取决于线元上任意点

项目来源：国家科技支撑计划资助项目（）；江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目（＿）。２０１２ＢＡＨ３５Ｂ０２ＣＸＺＺ１４０２１３第一作者：卞玉霞，博士生，主要从事序列视频三维建模及其质量评价研究。Ｅ：ｍａｉｌｂｘ３１０＠１６３．ｃｏｍｙ通讯作者：刘学军，博士，教授。Ｅ：ｍａｉｌｌｉｕｘｕｅｕｎ＠ｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎｊｊ

０卷第１期　第４

卞玉霞等：

三维空间多边形的位置不确定性度量模型

２７

三角形上的点位误差。如图２所示，三维空间多边形犘１犘２，…，利用三角剖分原理构造相犘犘１，狀互邻接且互不重叠的三角形集合犘１犘２犘３、…、犘１

犘犘狀－１狀。

图２所包含的三角形犘１犘２犘３中，犃犅平行于犘１犘２，犆犇平行于犘２犘３。已知犘１犆与犘２犆长度

／即可求得比（１－狌）狌及线元两端点位置误差，犘１犘２、犘１犘３上犆和犇两点的位置误差。根据

／可确定犚犘３犅与犘２犅长度比（１－狏）狏，犇与

／犆犚的长度比（１－狏）狏。犆、犇两点位置误差及犚犇与犆犚空间多边形上任意点：

图１　

三维空间线元置信域模型Ｆｉ．１　ＣｏｎｆｉｄｅｎｃｅＶｏｌｕｍｅＭｏｄｅｌｏｆｇ

ＴｈｒｅｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＬｉｎｅ

的位置误差和预设的置信水平。置信水平是线元上所有点的真实位置犚０落入相应置信域内的概率。考虑到测绘领域中点位误差服从正态分布，故假设构成线元的点位误差亦服从正态分布，且点位误差在狓彼此相等。狕各向上相互独立、狔当线元上所有点的真实位置以不小于预设置信水三维空间线元上任意平的概率落入置信域内时，

５，８］

待定点犚的位置误差为［：

／２２２１２（）（）］２１－狉）×（＋狉）σ１＝［３式（）是以狉为自变量、开口向抛２σ１为变量、

狓狓（１）１－狏＝（＋狔狕犚

狕狕犘２

（）５

狓，］－狌∈［０，１狔

狕犘３

物线。当狉＝０．可以得到σ当狉５时，１的最；可以得到σ＝０或１时，１的两个极。由此可

以得到三维空间线元的置信（如图所示的虚线框围成的区域），间小的哑铃型形状。

图２　三维空间多边形上点位误差

Ｆｉ．２　ＰｏｓｉｔｉｏｎＥｒｒｏｒｏｆＰｏｉｎｔｏｎＴｈｒｅｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇ

Ｐｏｌｏｎｙｇ

２　三维空间多边形置信域模型是一个将多边形是多边形上所真实位置包围在内的三维空间体，

有点元置信域的并集。三维空间多边形置信域的大小取决于多边形上任意点的位置误差和预设的置信水平α，多边形上所有点的真实位置犚０（狓０，

落入相应置信域犠内的概率为：狕狔０，０）（）犘（犚０∈犠）≥α３

狕轴方　　设三维空间多边形上待定点犚在狓狔向上的点位误差分别为σ多边形上待σ狓、狕，狔和σ

定点犚是满足式（）的点集。４

设首尾相连的三维空间多边形的各　　类似地，

点位误差服从正态分布，且各点位误差在狓狕狔轴各向上相互独立、彼此相等（。σσσσ狓＝狕＝２）狔＝当多边形上所有点的真实位置以不小于预设置信水平α的概率落入置信域内时，由式（）及误差传５播定律，且仿式（）可以得到三维空间多边形上任２意点犚的位置误差：

２２２

）（（（３１－狌）１－狏）σ×（＋２＝［３

／２２２１２］（）狌１－狌）狏）６＋（

式（）是以狌、６狏为自变量，σ２为变量的二元高次

狓－σσ狓≤狓０≤狓＋狓σ狔－σ０≤狔＋狔≤狔狔狕－σσ狕≤狕０≤狕＋狕（）４

方程。确定由任意点犚组成的三维空间多边形求极值。σ、置信域模型可对式（６）狏∈２是狌上连续的函数，因此式（［０，１］６）在狌、狏∈

区间上必定存在极大值和极小值。关于求［０，１］解式（）中极大值和极小值的过程，分析如下。６

２）式（）中，分别对狌、１６狏求偏导数。当＝

狌

　　利用三角剖分原理将多边形各顶点连线构建

相互邻接且互不重叠的三角形集合。求三维空间多边形上任意点位误差的过程等价于求该点所在

２８

武汉大学学报·信息科学版

２０１５年１月

２

可以求得狌＝１／／０及＝０时，３，狏＝１２为式（６）

狏

的驻点坐标。

）为了确定驻点坐标的极值情况，分别对式２

３　三维空间多边形置信域度量模型

如图３所示，三维空间多边形置信域模型值

２（）中狌、６狏求二阶偏导数。此时，）＝犃，

狌狌２２）＝犅）＝犆。

狌狏狏狏

当狌＝１／／），

（３，狏＝１２时，犃＝３３３

犜由０．５倍边界线上点元置信域集合和多边形所

有内点置信域集合两部分组成。由于三维空间边界线上所有点元置信域集合对三维空间多边形置可以忽略０．信域影响较小，５倍边界线上点元置。

度型的基础。因此，

型是计算剖分形成各集过程。

以σ称面，２。为了便：以三角形面积犇，＝２σ体。因此三维２是变化的量，用多元函数积分学原理。

（，维空间体的高度函数犣可以２

２满足犃＞０，犅＝０，犆＝×３犃犆－３

８１

该驻点为极小值点。犅２＞０，

）的两端３狌＝０，狏＝１或狌＝１，狏＝０是式（６）

点坐标，即为极值点坐标。当狌＝０，狏＝１或狌＝式（）的函数值为σ），该值（１，狏＝０时，６３２＝３

２

）２＋（３大于狌＝１／，／时的函数值。３狏＝１２σ２＝

３

因此，即可狌＝０，狏＝１或狌＝１，狏＝０是极大值点，知犘１、…、…，犘２、犘犘２，犘犘１上狀等狀个顶点是犘１狀

２

点位误差最大的点位置。

信域形状如图３所示，其形状大致为一个上下左右等各个表面均向中间凹陷的凹面体犘１犘２…犘犘１为三维空间多边形，狀犘′犘″犘′犘″犘′犘″犘′犘″犘２犘１１２２…狀狀１１及犘１狀的置信域围成的空间域。其中，犘′犘′′１２…１周向中心平滑凹陷的凹面′犘″２…犘狀１犘１

犳（狌，狏）＝

２２

）（（２（３１－狌）１－狏）　２×［×（＋／２２２１２

］狌１－狌）狏）　＋（

２

犘″犘″犘″犘２…犘犘１１犅１２…狀１基于多边形犘１狀间小的犇１犈１犉１犌１是线段犘１犘２形成的两哑铃型三维空间置信域，其他线目标如犘２犘３、…、形成的置信域形状与犘１犘犘犘犘１等）狀－２狀－１、狀

犘２的置信域形状类似。

（）７在每个　　将闭区域犇任意划分为狀个小区域，小区域上任意取一点（，作函数犳（与狌狏狌狏犻，犻）犻，犻）并作和：小区域面积Δω犻的乘积，

狀

犛＝

犻＝１

狌∑犳（

犻

，狏Δω犻）犻（）８

当闭区域犇被划分为无穷多个小区域，犛趋于极限值时，该极限值即为三维空间三角形的置信域它可以用函数犳（在闭区域犇上的定积犜１，狌，狏）

分表示：

狀

犜１＝ｌｉｍ∑犳（狌狏Δω犻，犻）犻＝

狀→∞犻１

＝

（）９

狌，狏）ｄω犳（



犇

图３　三维空间多边形置信域模型Ｆｉ．３　ＣｏｎｆｉｄｅｎｃｅＤｏｍａｉｎＭｏｄｅｌｏｆｇ

ＴｈｒｅｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＰｏｌｏｎｙｇ

该坐标系是犘２狏，　　构建如图４所示的坐标系狌

以三角形所包含多边形的一条边界线犘１犘２为狌轴，并以该边界线的端点犘２为坐标原点，以另一顶点犘３到狌轴的垂直方向为狏轴。三角形犘１犘２已知犘１犘２的长度为犔，犘３中，犘３到犘１犘２的垂距为犠，犘３到狏轴的距离为犓。根据已知条件可以计

０卷第１期　第４

卞玉霞等：三维空间多边形的位置不确定性度量模型

２９

算犘１犘３和犘２犘３在直角坐标系中的方程。由此，积分区域犇可以表示为：

构建由犃（、、、１０，０，１）犅（１０，６，１）犆（０，６，１））、、、、犇（０，０，１犈（０，０，５）犉（０，６，５）犌（１０，６，５）犎

（）、、等坐标点依次１０，０，５犕（１０，３，６）犖（０，３，６）相连围成如图５所示的建筑物，建筑物面积是指由犃、犅、犆、犇围成的空间多边形犃犅犆犇的面积。由于犃犅犆犇的位置不确定性会导致建筑物面积度量建筑物面积误差的问题可归结误差。因此，

为三维空间多边形的位置不确定性度量问题。

犪狏≤狌≤犫狏＋犔，０≤狏≤犠（）１０

。同时也需要注意，设犪＝－，当犫＝－

犠犠。

犘３与犘１、犘２位于同一象限时，犪＝，犫＝

犠犠

根据式（）、式（）及直角坐标计算二重积分７１０可以将式（）转化为：方法，９

狑

犫狏犔＋

犜１＝

ｄ狏犳（狏

）ｄ狌＝

∫∫狌，

狏＝０

狏狌＝犪狑

２２３３

狏＝０／

犫狏犔＋

狏　ｄ

∫

狌＝犪狏

２２２

［（（（１－狌）１－狏）１－＋狌＋（

２２１２］狌）狏）ｄ狌　

（）１１

犘１置信域犜是组　　三维空间多边形犘１犘２…犘狀

成该多边形的相互邻接且互不重叠的狀置信域的并集，故三维空间多边形置信域型可以表示为：

…，犜＝∪犜１，２，狀）犼∈（犼，

犼＝１狀

图５　　ｉｌｄｉｎｇ

、犇构成的多边形犃犅犆犇中，且各个点位误差。在满足以上条件的情况下，可知，三维空间多边形上点位误差为：２２２

）（（（３１－狌）１－狏）×（＋３＝［３

／２２２１２］（）狌１－狌）狏）１３＋（

犅犆犇通过三角剖分原理划分为相互邻　　将犃

（）１２

其中，犜犼表示剖分形成的第犼。

即三角形犃接且互不重叠的三角形集合，犅犆和三角形犃所示的三维空间三角犆犇。根据式（１１）形的置信域度量模型，度量各个三角形的置信域值。如三角形犃线段犃犅犆中，犅是多边形的一条该三角形中顶点犆到线段犃边界线，犔＝６，犅的则犠＝１距离为１０，０。在以犅为中心、犃犅为狌轴、犅犆为狏轴的临时坐标系狌犅狏中，犆到狏轴的

图４　三维空间多边形的置信域度量Ｆｉ．４　ＣｏｎｆｉｄｅｎｃｅＶｏｌｕｍｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆｇ

ＴｈｒｅｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＰｏｌｏｎｙｇ

距离为０，即犓＝０。当预设置信水平α＝９５％时，）利用Ｍ３＝１０．２，ａｔｌａｂ７．０中ｑｕａｄ２ｄ函数９８３（０．χ

进行双重定积分求得三维空间多边形犃犅犆的置

２

信域约等于０．根据９。同理求得犃犆犇的置信域，

４　实例验证

建筑物面积误差是指建设工程竣工时实测总建筑面积超出规划许可的总建筑面积部分，它是由于建筑物各表面投影到某一空间平面上的位置误差引起的。本文以工程中建筑物面积误差为例，度量建筑物地面的置信域模型，评估三维空间多边形位置不确定性对建筑物面积误差的影响。

式（）可以求得建筑物面积误差犜约为１．１２８。

为了更好地表达测量结果，通常用相对误差表示测量值的精度，则房屋面积的相对误差为犜与建筑物面积的比值。在犃犅犆犇上所有点的真实位置以不小于预设置信水平９５％的概率落入置信域内时，建筑物面积相对误差约为３％。

《浙江省城镇建设工程竣工规划核实管理办法》中规定建筑物面积最大合理误差是３％，与本三维空间文实例推导结果基本一致。由此可见，

３０

武汉大学学报·信息科学版

２０１５年１月

多边形的置信域度量模型可用于工程建设等领域的质量控制过程。

：张国芹，朱长青，李国重．２００９，３４（４）４３１４３５（基于ε＿］犿模型的线元位置不确定性度量指标［Ｊ．武汉大学学报·信息科学版，：２００９，３４（４）４３１）４３５

］，Ｇ［８ａｎＡｉｍｉｎｕｏＤａｚｈｉ．ＴｈｅＵｎｃｅｒｔａｉｎｔａｎｄ　ＦｙＢ

，犃Ｊ］犮狋犪犌犲狅犱犪犲狋犻犮犪犲狋ＭｏｄｅｌｏｆＥｒｒｏｒＥｎｔｒｏｐｙ［：范爱犆犪狉狋狅狉犪犺犻犮犪犛犻狀犻犮犪，２００１，３０（１）４８５３（犵狆］民，郭达志．误差熵不确定带模型［Ｊ．测绘学报，（）：）２００１，３０１４８５３

］，，，［９ｉＤａｕｎＧｏｎａｎａＸｉｅＧａｎｈｅｎｅｔａｌ．Ｅｒｒｏｒ　ＬｊｇＪｙｇ

［］ＥｎｔｒｏａｎｄｆｏｒＬｉｎｅａｒＳｅｎｔｓｉｎＧＩＳＪ．犌犲狅ｐｙＢ５　结　语

本文在分析三维空间线元位置不确定性的基提出了三维空间多边形置信域模型，基于积础上，

分学原理构建了三维空间多边形置信域度量模型。

需要注意的是，本文研究是在构成三维空间多边形的点位误差服从正态分布，点位误差在狓彼此相等的情况下进行的狕各向上相互独立、狔

研究。对于相互关联的三维空间点元构成的多边形的位置不确定性还需要进一步探讨。

参　考　文　献

［］１ｂｌｅｒＲＦ．ＴｈｅＮａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＮａ　Ａ

ｔｉｏｎａｌＣｅｎｔｅｒｆｏｒＧｅｏｒａｈｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＡｎａｌｇｐｙ［］Ｊ．犐狀狋犲狉狀犪狋犻狅狀犪犾犑狅狌狉狀犪犾狅犲狅狉犪犺犻犮犪犾犐狀ｓｉｓ犳犌犵狆（）：狅狉犿犪狋犻狅狀犛狊狋犲犿，１９８７，１４３０３３２６犳狔

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［］３ｈｉＷ．ＡＧｅｎｅｒｉｃＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＡｒｆｏｏｄｅｌｉｎ　Ｓｐｐｇ

］ＥｒｒｏｒｏｆＧｅｏｍｅｔｒｉｃＦｅａｔｕｒｅｓｉＩＳ［．犐狉狀犪

犿犪狋犻犮狊犪狀犱犐狀狅狉犿犪狋犻狅狀犛犮犻犲狌犺犪狀犝狀犻狏犲狉犳犠（）：，龚健雅，谢刚狊犻狋２００２，２７５４狔，生，等．ＧＩＳ．武汉大学学报·信息科学版，：２２，Ｚ［１０］ＺｈｕＣｈａｎｈａｎｎｘｉａ．ｇｇｇＧｇ

［］ＡｎＥｒｒｏｄｅｌｆｏｒＧｌＬｉｎｅａｒＪ．ｐｙＭ犌犲狅犿犪狋犻犱犐狀狅狉犿犪狋犻狅狀犛犮犻犲狀狅狌犺犪狀犝狀犻犳犳犠（：长青，张国芹，王２００５０５）４０５４（狊犻狋］ＧＩＳ［Ｊ．武汉大学学报，（）：）２００５，３０５４０５４０７］Ｓ，１１ｈｉＹｕｆｅｎＳｈｏｎＪｉｎＦｅｎｘｉａｎ．Ｈｂｒｉｄｇｇｇｙ

ＥｎｔｒｏｏａｔｉａｌＤａｔａＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｎＧＩＳｐｙＭｐｙｉ．犌犲狅犿犻犮狀犱犐狀狅狉犿犪狋犻狅狀犛犮犻犲狀犮犲狅狌犺犪狀犳犳犠：史玉峰，史文中，２００６，３１（１）８２８５（狔．ＧＩＳ中空间数据不确定性的混合熵模型研］：究［Ｊ．武汉大学学报·信息科学版，２００６，３１（１））８２８５

［］Ｚ，，１２ｈａｎｕｏｉｎＺｈｕＣｈａｎｉｎＬｉＧｕｏｚｈｏｎ．ＡＰｏｇＧｑｇｑｇｇ

ｓｉｔｉｏｎａｌＵｎｃｅｒｔａｉｎｔ犈ＭｏｄｅｌｆｏｒＬｉｎｅＳｅｍｅｎｔｙε＿ｇＣｏｎｓｉｄｅｒｉｎｒｒｏｒＥｌｌｉｓｅＬｏｎｅｍｉａｘｉｓａｓＥｒｒｏｒｇＥｐｇＳ］ＢａｎｄＷｉｄｔｈ［Ｊ．犌犲狅犿犪狋犻犮狊犪狀犱犐狀狅狉犿犪狋犻狅狀犛犮犻犳：２０１０，３５（４）４９５４９９犲狀犮犲狅狌犺犪狀犝狀犻狏犲狉狊犻狋犳犠狔，（张国芹，朱长青，李国重．以误差椭圆长半轴表示＿］带宽的线元位置不确定性εＥ模型［Ｊ．武汉大学学报·信息科学版，（）：）２０１０，３５４４９５４９９［，Ｔ，Ｌ１３］ＳｈｉｎｅｎｚｈｏｎｏｎｉａｏｈｕａｉｕＤａｉｅ．ＡｎｇＷｇｇＸｊ

ＡｒｏａｃｈｆｏｒＭｏｄｅｌｉｎｒｒｏｒｏｆＧｅｎｅｒｉｃＣｕｒｖｅＦｅａｐｐｇＥ［］Ｊ．犃犮狋犪犌犲狅犱犪犲狋犻犮犪犲狋犆犪狉狋狅狉犪犺犻犮犪ｔｕｒｅｓｉｎＧＩＳ犵狆（）：（史文中，童小华，刘大２０００，２９１５２５８犛犻狀犻犮犪，杰．］ＧＩＳ中一般曲线的不确定性模型［Ｊ．测绘学报，（）：）２０００，２９１５２５８

［］Ｌ，，１４ｉｕＣｈｕｎＳｈｉＷｅｎｚｈｏｎＬｉｕＤａｉｅ．Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｇｊｐ

ｏｆＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｅｔｗｅｅｎＰｏｌｏｎＳｅｍｅｎｔａｎｄＬｉｎｅｙＢｙｇｇ［］ＳｅｍｅｎｔｆｏｒＳａｔｉａｌＤａｔａｉｎＧＩＳＪ．犌犲狅犿犪狋犻犮狊犪狀犱ｇｐ２００５，犐狀狅狉犿犪狋犻狅狀犛犮犻犲狀犮犲狅狌犺犪狀犝狀犻狏犲狉狊犻狋犳犳犠狔，（）：（刘春，史文中，刘大杰．Ｇ３０１６５６８ＩＳ空间数］据面元与线元不确定性的关系［Ｊ．武汉大学学报·信息科学版，（）：）２００５，３０１６５６８

］Ｔ’，［１５ａｎｈｏｎａｎＳｈｉＷｅｎｚｈｏｎ．ＥｕｉｖａｌｅｎｔＰｒｏｂａｇＺｇｇｑ

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［］４ｈｉＷｅｎｚｈｏｎ．ＴｈｅＳｔｏｃｈａｃＰｓｓＭｅｌｆｏｒ　Ｓｇ

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］［５ｈｉＷ，ＬｉｕＷ．ＡＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓＢａｓｅｄＭｏｄｅｌ　Ｓ

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［］，，６ｈｕＣｈａｎｉｎＺｈａｎｕｏｉｎＳｈｉＷｅｎｚｈｏｎ．Ａｌ　ＺｇｑｇｇＧｑｇ

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