2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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趣味数学

２０１３年全国初中数学联合竞赛

试题及参考答案

第一试

一、选择题：

计算：１．４＋２－　（．　　）

１＋２４＝的全部正整数解（的组数为（ｘ，．　　）ｙ）

（Ａ）１　　（Ｂ）２　　（Ｃ）３　　（Ｄ）４

【（答】Ｂ）．

２由３ｘ＋７ｘｘ－５７＝０得ｙ＝ｙ－１ｙ－２２，又ｘ，所以ｘ≥１，ｙ为正整数，７ｘ－５

２

从而可得－３所以ｘ＋２ｘ＋１７≥７ｘ－５，ｙ≥１，

２

所以只可能得ｘ＝１或ｘ＝２．３ｘ＋５ｘ≤２２，

当ｘ＝１时，可得ｙ＝８；

（Ａ－１　（Ｂ）１　（Ｃ　（Ｄ）２【（答】Ｂ）．４＋２１＋２４４１）－　（３＋４＝１．

ｍ

满足等式（２．２－ｍ）

数ｍ的和为（．　　）

２

－ｍ－２

＝１的所有实

当ｘ＝２时，可得ｙ＝１．

２

因此，不定方程３ｘ＋７ｘｘ－５７ｙ－１ｙ－２

（有两组：和ｘ，１

，８）＝０的全部正整数解（ｙ）

（）２，１．

（Ａ）３　　（Ｂ）４　　（Ｃ）５　　（Ｄ）６

【（答】Ａ）．当２－ｍ＝１即ｍ＝１时，满足所给等式；

ｍ

（当２－ｍ＝－１即ｍ＝３时，２－ｍ）４

）满足所给等式；＝（－１＝１，

２

－ｍ－２

５．矩形ＡＢＣＤ

的边长ＡＤ＝３，ＡＢ＝２，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ

在线段Ｂ且ＢＣ上，Ｆ∶ＦＣ＝１∶２，ＡＦ分别与则ＭＮ＝（ＤＥ，ＤＢ交于点Ｍ，Ｎ，．　　）

（ＡＢ　　　（

７１４（Ｃ２８【（答】Ｃ）．

易知△ＢＮＦ∽△ＤＮＡ，所以＝＝

ＡＮＮＤ

（Ｄ２８

当２－ｍ≠±１即ｍ≠１且ｍ≠３时，由已知等式可得：解得ｍ２－ｍ－２＝０且２－ｍ≠０，

ｍ＝－１．

２

ｍ－ｍ－２

因此，满足等式（２－ｍ）＝１的所有）实数ｍ的和为１

＋３＋（－１＝３．已知Ａ３．Ｂ是⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点，，ＡＢ＝１５°ＣＢ的∠Ｃ∠Ａ

平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，若则ＡＣＤ＝Ｂ＝（．　　）

（Ａ）２　（Ｂ　（Ｃ）２　（Ｄ）３【（答】Ａ）．

连接Ｏ作ＯＭ⊥Ｃ则可得Ｃ，Ｄ于点Ｍ，，，所以ＣＭ＝ＣＭ＝４５°－１５°＝３０°Ｃ所∠Ｏ

２以ＡＢ＝２ＯＣ＝Ｍ＝Ｄ＝２．不定方程３４．ｘ＋７ｘｘ－５７＝０ｙ－１ｙ－２

２

，所以ＦＮ＝Ｎ＝＝Ｆ．

ＡＤ３３４

延长Ｄ则△ＡＭＤ∽Ｅ，ＣＢ交于点Ｇ，所以＝＝，所以ＡＭ＝△ＦＭＧ，

ＦＭＦＧ４４ＦＭ＝Ｆ．

７

因此ＭＮ＝ＡＦ－ＡＭ－ＦＮ＝ＡＦ－Ｆ７－Ｆ＝Ｆ＝Ｂ２＋ＢＦ２＝．４２８２８２８

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设ｎ为正整数，若不超过ｎ的正整数中６．

，则称ｎ为“好数”质数的个数等于合数的个数，那么，所有“好数”之和为（．　　）

（Ａ）３２　　　（Ｂ）３４

（Ｃ）２０１３　　（Ｄ）２０１４【（答】Ｂ）．

因为１即不是质数也不是合数，所以“好数”一定是奇数．

设不超过ｎ的正整数中质数的个数为ａｎ，合数的个数为ｂ当ｎ≤１列表如下（只考５时，ｎ，：虑ｎ为奇数的情况）

ｎ１３５１　３　５　７　９　１１１ａｎｂｎ

０　２　３　４　４　５　６　６０　０　１　２　４　５　６　８

＝１０，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在

ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上，则

ＥＦ的周长的最小△Ｄ值为．

【答】５．作点Ｅ关于Ａ连接Ｂ，ＡＣ的对称点Ｐ，Ｑ，，则∠ＰＡＥ，ＡＰ，ＡＱ，ＤＰ，ＦＱ，ＰＱ，ＡＱ＝１２０°且Ａ作ＡＨ⊥ＢＰ＝ＡＱ＝ＡＥ，Ｃ于点Ｈ．

那么△ＤＥＦ的周长

ｌ＝ＤＥ＋ＤＦ＋ＥＦ＝ＰＤ＋ＤＦ＋ＦＱ≥ＰＱ而ＡＨ＝１＝ＡＰ＝ＡＥ≥ＡＨ，０ｃｏｓ　　　∠Ｂ所以ｌ当＝１０ｃｏｓ４５°＝５·５＝５≥且Ｐ，且仅当点Ｅ与点Ｈ重合，Ｄ，Ｆ，Ｑ四点共线时取得等号．

２２

如果实数ｘ，４．ｚ满足ｘ２＋ｙ＋ｚ－ｙ，

（用Ａ表示｜ｚ＋ｚｘｘ）＝８，ｘ－ｙ｜，｜ｙｙ－ｙ＋ｚｚ－ｘ｜的最大值，则Ａ的最大值为｜，｜

１，９，１１，１３是好数．　　显然，

，因为ｂ当ｎ≥１在ｎ＝１ａ６时，５１５－１５＝２的基础上，每增加两个数，其中必有一个为偶数，当然是合数，也就是说，增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，所以一定有ｂｎ－故当ｎ≥１好数”ａ２，６时，ｎ不可能是“．ｎ≥

因此，所有“好数”之和为１＋９＋１１＋１３＝３４．

二、填空题：

已知实数ｘ，１．ｚ满足ｘ＋ｚ＋１｜｜ｙ，ｙ＝４，

则ｘ＋２＝ｘｚ＝．ｙ＋２ｙ－９，ｙ＋３

【答】４．

由ｘ＋代入｜４得ｘ＝４－ｙ，ｚ＋１｜＝ｘｙ＝ｙ

２２

），所＋２９得ｚ＋１＝６｜｜ｙ－ｙ－ｙ－９＝－（ｙ－３

，，，以ｚ＝－从而ｘ＋１３ｘ＝１２３ｚ＝４．ｙ＝ｙ＋

．【答．

３由已知等式得

２２２

（ｘ－ｚ）＋（ｚ－ｘ）＝１６．ｙ）＋（ｙ－不妨设Ａ＝｜则ｘ－｜，ｙ２２

（］Ａ２＝（ｘ－ｚ）＋（ｚ－ｘ）ｙ）＝［ｙ－２２

［（］ｚ）＋（ｚ－ｘ）≤２ｙ－２［＝２１６－（ｘ－ｙ）］

（＝２１６－Ａ２）．解得　Ａ≤．

３，所以Ａ的最大值为３

，当ｘ－ｚｚ－ｘ｜｜＝｜｜＝｜｜＝ｙｙ－３３时取得．

第二试（Ａ）

一、本题满分２０分．

２２２，，已知实数ａ，ｂｃｄ满足２ａ＋３ｃ＝２ｂ＋２２２２２２

），）（）求（的值．３ｄ＝（ａｄ－ｂｃ＝６ａ＋ｂｃ＋ｄ

２２２２

，，解　设ｍ＝则２ａ＋ｂｎ＝ｃ＋ｄｍ＋３ｎ

将一个正方体的表面都染成红色，再切２．

３（）割成ｎ个相同的小正方体，若只有一面ｎ＞２是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则ｎ＝

【答】８．

只有一个面染红色的小

正方体的总数为（）个，任何面均不是红色的小正方体的６ｎ－２

３２）总数为（个，由题意知６（ｎ－２ｎ－２）＝（ｎ－

２

３

），解得ｎ＝８．２

．

，，在△Ａ３．ＢＣ中，０°５°ＡＢ∠Ａ＝６∠Ｃ＝７

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２２２２

＝２ａ＋２ｂ＋３ｃ＋３ｄ＝１２．

２２

因为（２ｍ＋３ｎ）＝（２ｍ－３ｎ）＋２４ｍｎ≥２

即１所以ｍ２４ｍｎ，２４ｍｎ，ｎ≤６≥２

２２２２

）（）又因为ｍｎ＝（ａ＋ｂｃ＋ｄ

２２２２２２　２　２

＝ａｃ＋ｂｄ＋ａｄ＋ｂｃ

２２

）＝（ａｃ＋ｂｄ）＋（ａｄ－ｂｃ

２

）ａｄ－ｂｃ＝６≥（

由①，即ｎ＝６，②可得ｍ

三、本题满分２５分．

已知ｔ是一元二次方程ｘ２＋ｘ－１＝０的

（一个根，若正整数ａ，ｂ，ｍ使得等式（ａｔ＋ｍ）ｂｔ求ａ＋ｍ）＝３１ｍ成立，ｂ的值．

解　因为ｔ是一元二次方程ｘ２＋ｘ－１＝０

２

的一个根，显然ｔ是无理数，且ｔ＝１－ｔ．

①

②

２

（等式（即ａａｔ＋ｍ）ｂｔ＋ｍ）＝３１ｍ，ｂｔ＋ｍ

２２２２

（）（）ａ＋ｂｃ＋ｄ＝６．注：符合条件的实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ存在且不唯

（）即ａａ＋ｂ）ｔ＋ｍ２＝３１ｍ，ｂ（１－ｔ＋ｍ（ａ＋ｂ）ｔ

即＋ｍ２＝３１ｍ，

［ｍ（ａ＋ｂ）－ａｂ］ｔ＋（ａｂ＋ｍ２－３１ｍ）＝０．

因为ａ，所以ｂ，ｍ是正整数，ｔ是无理数，），ｍ（ａ＋ｂ－ａｂ＝０＋ｂ＝３１－ｍ，于是可得　２，ｂ＋ｍ－３１ｍ＝０ｂ＝３１ｍ－ｍ２．因此ａ，ｂ是关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋（）方ｍ－３１ｘ＋３１ｍ－ｍ２＝０①的两个整数根，

２程①的判别式Δ＝（ｍ－３１）－４（３１ｍ－ｍ２）＝

一，ａ＝ｂ＝１，ｃ＝，ｄ＝－就是一组．

３３

二

、本题满分２５分．

已知点Ｃ在以ＡＢ为过点Ｂ、直径的⊙Ｏ上，Ｃ作⊙Ｏ的切线，交于点Ｐ，连接Ａ若ＯＣ，Ｐ＝Ｃ，

２

的值求．ＡＣ

解　连接Ｏ因为Ｃ，

所ＰＣ，ＰＢ为⊙Ｏ的切线，

以∠Ｐ又因ＯＣ＝∠ＰＯＢ，

为Ｏ所以∠ＯＡ＝ＯＣ，ＣＡ＝∠ＯＡＣ．

又因为∠Ｃ所以ＯＢ＝∠ＯＣＡ＋∠ＯＡＣ，所以∠Ｐ所２∠ＰＯＢ＝２∠ＯＡＣ，ＯＢ＝∠ＯＡＣ，以ＯＰ∥ＡＣ．连接Ｂ因为ＡＣ，Ｂ为⊙Ｏ的直径，ＰＢ为

所以∠ＡＣＢ＝∠ＯＢＰ＝９０°．⊙Ｏ的切线，

又∠ＰＯＢ＝∠ＯＡＣ，所以△ＢＡＣ∽

（（３１－ｍ）３１－５ｍ）≥０．

又因为ａ，所以ａ＋ｂ是正整数，ｂ＝３１－ｍ从而可得０＜ｍ≤．＞０，

５

又因为判别式Δ是一个完全平方数，验证可知，只有ｍ＝６符合要求，

把ｍ＝６代入可得　ａｂ＝３１ｍ－ｍ２＝１５０．

第二试（Ｂ）

一、本题满分２０分．

已知ｔ若正整数ａ，＝，ｂ，ｍ使得等　

（式（求ａａｔ＋ｍ）ｂｔ＋ｍ）＝１７ｍ成立，ｂ的值．

２

解　因为ｔ所以ｔ＝－１，＝３－２．　

２

（等式（ａｔ＋ｍ）ｂｔ＋ｍ）＝１７ｍ即ａｂｔ＋ｍ

所以ＯＢ，＝．△Ｐ

ＯＢＯＰ

又ＯＰ＝ＡＣ，ＡＢ＝２ｒ，ＯＢ＝ｒ（ｒ为⊙Ｏ２，的半径）代入可求得ＯＰ＝３ｒ，ＡＣ＝．３

在Ｒ由勾股定理可求得ｔＯＢ中，△Ｐ

（即ａａ＋ｂ）ｔ＋ｍ２＝１７ｍ，ｂ（３－２＋ｍ（ａ＋）ｂ）－１＋ｍ２＝１７ｍ，·整理得　［ｍ（ａ＋ｂ）－２ａｂ］［３ａｂ－

ｍ（ａ＋ｂ）＋ｍ２－１７ｍ］＝０．

因为ａ，ｂ，ｍ

是正整数，所以

ＰＢ＝Ｐ２－ＯＢ２＝２ｒ，所以　＝＝３．

ＡＣ３

ｍ（ａ＋ｂ）－２ａｂ＝０，于是可得２（），３ａｂ－ｍａ＋ｂ＋ｍ－１７ｍ＝０

（，＋ｂ＝２１７－ｍ）ｂ＝１７ｍ－ｍ２．

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因此ａ，ｂ是关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋２（）方ｍ－１７ｘ＋１７ｍ－ｍ２＝０①的两个整数根，

２

程①的判别式Δ＝４（ｍ－１７）－４（１７ｍ－ｍ２）（（＝４１７－ｍ）１７－２ｍ）≥０．

又因为ａ，所以ａ＋ｂ＝ｂ，ｍ是正整数，（从而可得０＜ｍ≤１７－ｍ）．２＞０，

２

又因为判别式Δ是一个完全平方数，验证可知，只有ｍ＝８符合要求．

把ｍ＝８代入可得ａｂ＝１７ｍ－ｍ２＝７２．二、本题满分２５分

．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，Ｏ、Ｉ分别是△ＡＢＣ的外心和内心，且满足求证：ＡＢ－ＡＣ＝２ＯＩ，

）（１ＯＩ∥ＢＣ；

（）２Ｓ△ＡＯＣ－Ｓ△ＡＯＢ＝２Ｓ△ＡＯＩ．

）证明　（作ＯＭ⊥Ｂ１Ｃ于Ｍ，ＩＮ⊥ＢＣ于设ＢＮ，Ｃ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．

），易求得ＣＭ＝，ＣＮ＝（ａ＋ｂ－ｃ

２２所以ＭＮ＝ＣＭ－ＣＮ＝（ｃ－ｂ）＝ＯＩ．

２

又ＭＮ恰好是两条平行线ＯＭ，ＩＮ之间所以Ｏ的垂线段，Ｉ也是两条平行线ＯＭ，ＩＮ之间的垂线段，所以Ｏ所以ＯＩ∥ＭＮ，Ｉ∥ＢＣ．（））由（知ＯＭＮ连接Ｂ２１Ｉ是矩形，Ｉ，ＣＩ，

，设ＯＭ＝即为△ＡＩＮ＝ｒ（ＢＣ的内切圆半径）则Ｓ△ＡＯＣ－Ｓ△ＡＯＢ＝（Ｓ△ＡＯ－Ｉ＋Ｓ△ＣＯＩ＋Ｓ△ＡＩＣ）（Ｓ△ＡＳ△ＡＯＳ△ＢＯＩＢ－Ｉ－Ｉ）

＝２Ｓ△ＡＯＳ△ＢＯＳ△ＣＳ△ＡＳ△ＡＩ＋Ｉ＋ＯＩ＋ＩＣ－ＩＢ···＝２Ｓ△ＡＯＯＩｒ＋Ｉｒ＋·Ｉ＋

２２２ＡＣ·ｒ－·ＡＢ·ｒ

２

）

＝２Ｓ△ＡＯｒ·（ＯＩ＋－＝２Ｓ△ＡＯＩ＋Ｉ．

２２

三、本题满分２５分．

２２２２２２２２２

的值．＋＋

２ｂｃ２ｃａ２ａｂ解　由于ａ，不妨设ｂ，ｃ具有轮换对称性，

０＜ａ≤ｂ≤ｃ．（）若ｃ＞则ｃ－１ａ＋ｂ，ａ＞ｂ＞０，ｃ－ｂ＞ａ＞从而可得：０，

２２２２２

（）＝１＋＞１，

２ｂｃ２ｂｃ２２２２２

（）＝１＋＞１，

２ａｃ２ａｃ２２２２２

（）＝－１＜－１，

２ａｂ２ａｂ

）ａｂ２）＞３，

２

２

２

２

２２２

所以　

２ｂｃ

２

２２２

＋

２ｃａ

）＋

２

与已知条件矛盾．

（）若ｃ＜则０≤２ａ＋ｂ，ｃ－ａ＜ｂ，０≤ｃ－ｂ＜

从而可得：ａ，

２２２２２

（）０＜＝１＋＜１，

２ｂｃ２ｂｃ２２２２２

（）０＜＝１＋＜１，

２ａｃ２ａｃ２２２２２

（）＝－１＞－１，

２ａｂ２ａｂ２２２２２

（）＝１＋＜１，

２ａｂ２ａｂ

）ａｂ２）＜３，

所以　

２

２

２

２

２２２

２ｂｃ

２

２２２

＋

２ｃａ

）＋

２

与已知条件矛盾．

）、（）综合（可知：一定有ｃ＝１２ａ＋ｂ．

２２２２２２

于是可得　＝１＝２ｂｃ２ｃａ２２２

＝－１，１２ａｂ

２２２２２２

所以　＋＋２ｂｃ２ｃａ２２２

＝１．

２ａｂ

）＋

＋

ｃａａｂ２）２）＝３，求代数式

２

２

２

２

２

２

２

２

２２２

，，若正数ａｂｃ满足

２ｂｃ

２

（北京数学会普及委员会提供）