放缩法证明不等式

数列部分与不等的是结合

高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

例1.(1)求?k?1n24k?12的值; (2)求证:?

为2

4n?1215?. 23k?1kn解析:(1)因?211??(2n?1)(2n?1)2n?12n?1,所以

?4kk?1n22?1?1?12n ?2n?12n?1

(2)因为1?n21n2?1

4?1??1?2???24n?1?2n?12n?1?4,所以

?kk?1n1211?25 ?11?1?2????????1??2n?12n?1?33?35

1441? ?1???2???n24n24n2?1?2n?12n?1?奇巧积累:(1)

(4)(1?1)n?1?1?1?1???n2?13?215?n(n?1)2 (5)1111 (6) ???n?2?n nnnn2(2?1)2?12n?2

?2n?12n?3?211?(2n?1)?2n?1(2n?3)?2n21?1 (8) ?????n?

(13) 2

(15) n?1nnnnn2n12n ?2?2?(3?1)?2?3?3(2?1)?2?2?1??n?32?131?n?n?1(n?2)

n(n?1)

说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明1117111???????．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；22224k?1k12nk

如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．

2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第

数列部分与不等的是结合

一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

例18 求证1?111?????2． 2232n2

分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从

证明：∵

∴1?1下手考查即可． n2111111?????(n?2)， n2nnn(n?1)n?1n1?1111?1?11??11??????1?????????2??2??????2232n2n?1nn?12??23??? 2014

17. (12分)

已知数列{an}满足a1?1,an?1?3an?1.

1 (I)证明{an?是等比数列，并求{an}的通项公式； 2

1113 (II)证明????. a1a2an2

【答案解析】解析：(I)∵an?1?3an?1

?an?1?1113?3an?1??an?1??3(an?) 2222

13? 22a1?1?a1?

13∴{an?是首项为 ，公比为3的等比数列 22

13n?13n3n?1,n?N* ∴an???3??an?2222

3n?1,n?N*，故 (II)由(I)知，an?2111111????2(1?2??n) a1a2an3?13?13?1

?2(11??31?3032?31?1) 3n?3n?1

数列部分与不等的是结合

?1?

11?2?1

33

11?()n

1?3?(1?(1)n)?3. ?n?1?

32321?3

11171?2?????(n?2) 22

62(2n?1)35(2n?1)

例2.(1)求证:1?

(2)求证:1?1?1???12?1?1

4

16

36

4n

2

4n

(3)求证:1?1?3?1?3?5???1?3?5???(2n?1)?n?1?1

2

2?4

2?4?6

2?4?6???2n

???

1 (4) 求证：2(

解

析

:(1)

因

n?1?1)?1?

12

?

13

?2(2n?1?1)

为

111?11?

?????2

(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?(2n?1)

,所以

?(2i?1)

i?1

n

1

2

111111

?1?(?)?1?(?)

232n?1232n?1

11111111

????2?(1?2???2)?(1?1?) 163644n4n2n

12n?1

(2)1?

4

(3)先运用分式放缩法证明出1?3?5???(2n?1)?

2?4?6???2n

,再结合

1??2?n

进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先1?2(n?1?n)?

n

2(n?1?1)?1?

12?13???

2n?1?n1

n

,所以容易经过裂项得到

再证

1n

?2(n?1?n?1)?

2n?1?2n?1

?

n?

211?n?22

而由均值不等式知道

这是显然成立的，所以1?例3.求证:

12

?

1???

1n

?2(2n?1?1)

6n1115

?1?????2?

(n?1)(2n?1)49n3

1?,所以 ?1

?2???

4n2?1?2n?12n?1?4

解析:一方面:因为

1

?n2

1n2?

4

?

111?25?11?1?2??????1?? ???2

2n?12n?1?33?35k?1k

n

另一方面:1?1?1???

4

911111n ?1??????1??2n2?33?4n(n?1)n?1n?1

数列部分与不等的是结合

当n?3时,

当n?2时,6n111n6n,当n?1时,?1?????2?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1), 6n111?1?????2(n?1)(2n?1)49n,所以综上有

6n1115?1?????2? (n?1)(2n?1)49n3