小波分析的理论发展及应用_刘素美

第5卷　第2期

2005年5月河北理工学院学报JournalofHebeiInstituteofTechnologyVol.5　No.2May.2005文章编号:1007-2829(2005)02-0060-05

小波分析的理论发展及应用

刘素美,李书光

(石油大学(华东)物理科学与技术学院,山东东营257061)

关键词:傅里叶变换;短时傅里叶变换;小波分析;应用

摘　要:简述了由傅里叶变换发展到小波变换的基本过程,深入浅出地分析了傅里叶变换、短

时傅里叶交换以及小波分析的基本内容。介绍了目前小波分析在部分领域的成功应用,对小

波分析的未来发展和应用作了阐述。

中图分类号:TM274.53　文献标识码:A+

0　引言

在当代信息社会,诸多领域都会涉及到信号的分析、加工、识别、传输及储存等问题。长期以来,傅里叶变换[1]一直是处理这方面问题最重要的工具,并且己经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,傅里叶变换分析方法存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换虽然提供了信号在频率域上的详细特征,却把时间域上的特征完全丢失了。而在实际中,瞬变信号(非平稳信号)大量存在,对这一类信号进行处理分析,通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频域段所对应的时间信息。虽然短时傅里叶变换[2](简记为STFT,又称为加窗傅里叶变换)能研究信号在局部时间范围的频域特征,但是其窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持不变,在处理时变信号时,不能满足变窗处理的要求(高频信号一般持续时间短而低频信号持续时间长,为提高对变换信号的感应,理想情况是对高频信号采用小时间窗而对低频信号采用大时间窗进行分析)。小波变换[3]不仅继承和发展了STFT的局部化的思想,而且克服了窗口大小不随频率变化,缺乏离散正交基的缺点,是一种比较理想的信号处理的数学工具。小波变换作为信号处理的一种手段,被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用,并在许多应用中取得了显著的效果,同传统的处理方法相比,产生了质的飞跃,证明了小波技术作为一种调和分析方法,具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。

[4-13]1　小波变换理论的提出

傅里叶变换(FT)是众多科学领域里的重要的应用工具之一。从数学角度讲是将对某一函数的复杂运算转换成对另外某一函数的比较简单的运算。傅里叶变换,是利用积分将一个函数F(t)(-∞<t<∞)变为另一个函数F(ω)(-∞<ω<∞)

∞

FT:f(t)→F(ω)=

　　当f(t)满足适当条件时,它有逆变换(FT)

FT:F(ω)→f(t)-1-1-∞∫∞f(t)edtiωt(1)iωtF(ω)edω2π-∞∫(2)

　　FT变换将对函数f(t)的求导运算转化对F(ω)的乘法运算,

收稿时期:2004-09-06f(t)→iωF(ω),将两个函数f(t)与g(t)dt

(-)女,,石油大学()。

　第2期　　　　　　　　　　　　　刘素美,等:小波分析的理论发展及应用

∞61的卷积运算转化为F(ω)与g(t)乘法运算,-∫f(t)g(t-u)du→F(ω)g(ω)。大部分信号的分析和处理是利∞

用线性常系数微分算子或卷积算子来描述其输入与输出之间的关系,对这类信号研究其输入与输出频谱之间的关系要比直接研究信号本身简单的多,即从频域特征。傅里叶变换是时域和频域相互转化的工具,从物理意义上讲,傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分看时域解成许多不同频率的正弦波的叠加。这样我们就可以把对函数f(t)的研究转化成对其权系数,即其傅里叶变换F(ω)的研究。

由傅里叶变换的定义(1)知,F(ω)取决于f(t)在实轴(-∞,∞)上的整体性质,因此它不能反映出信号在局部时间范围中的特征,也就是说,对于傅里叶频谱中的某一频率,不知道这个频率是在什么时间产生的而在许多实际问题中,人们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。针对这一弱点DennisGabor于1946年提出了“窗口傅里叶变换”,也称短时傅里叶变换(STFT)的概念。窗口傅里叶变换的基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用傅里叶变换分析每一个时间间隔,以便确定该时间间隔内存在的频率。其做法是引入一个光滑函数g(t),称之为窗口函数,它在区间(-Δ+δ,Δ-δ)上恒等于1,在区间(-Δ-δ,-Δ+δ)及(Δ-δ,Δ+δ)上光滑的迅速地由1减为0(δ为一个适当小的正数)(如图1)。用函数g(t-τ)(如图2)乘f(t),相当于以t=τ为中心开了一个宽度为2Δ的窗口。

函数f(t)关于窗口函数g(t—τ)

的窗口傅里叶变换公式为

∞

Gf(ω,τ)=F(t)g(t-τ)e

-∞∫-iωtdt(3)

　　G(ω,τ)反映了信号f(t)在t=τ附近的频谱特征,其反演公式为

f(t)iωtdωeg(t-τ)Gf(ω,t)dτ2π-∞-∞∞∞∫∫

　　STFT的窗口位置随τ而变,符合研究信号不同位置局部性质的要求,但是其窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持不变,在处理时变信号时,这就不能满足变窗处理的要求。为了解决这个问题,80年代后期,在继承和发展了STFT的局部化思想的基础上,一种新的时频分析理论———小波变换得到了发展。

所谓小波变换就是把某一称为母小波的函数ψ(t)的自变量t进行位移(b)和伸缩(a)处理后得到子小

1-b1),再把它与待变换的函数f(t)作内积而得到具有双参数a和b的函数波(又称小波基)ψab(t)ψaa

Wf(a,b)

Wf(a,b)1-∞f(t)ψ((t-b)/a)dt,a>0∫+∞

(5)

∞母小波ψ(t)具有紧支集,即ψ(t)在有限区间外恒等于0或很快地趋于0(使具有窗口的作用);另外保证-∫∞

ψ(t)dt=0(使其函数值正负交替具有波动性)。视窗的位置随b移动,其人小随a伸缩。积分式(5)可以化成卷积形式,因此小波变换是将视窗中的f(t)进行滤波处理,并且此滤波是一种带通滤波。a越大频带越窄平均频率越低,好像是人观看景物,站得越远视窗越大,景物越模糊;反之,a越小分辨率越高。这便是多分辨分析,被美誉为数学显微镜。

62　　　　河　北　理　工　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　第27卷　续型(CWT)和离散型(DWT)小波变换。

连续型小波变换(CWT)的过程可以这样理解:选取尺度a一定的小波,把它与原始信号的左端对齐进行比较,根据连续小波变换公式。

CWT=-∞f(t)ψab(t)dt∫∞

(6)

　　计算出两个函数的相似性系数,然后将小波函数右移一个小波函数的距离再进行比较和计算,直至完成整个信号的运算。将小波尺度参数a改变,重复上述过程。这样就得到了一系列尺度下的小波系数。最后以时间为横坐标以尺度为纵坐标可以做出小波系数灰度图。选用Morlet小波为例对函数f(t)作变换,当一1<t<0时f(t)=sin(50t);当0<t<1时f=sin(100t)。从小波系数图可以清楚地看到信号突变的位置在t=0附近,而傅里叶交换图对频率在何时发生突变没有提供任何信息(如图3

)。

小波变换灰度图图3　

上述的连续小波变换在计算机实现上面临着很大的困难,实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值都计算CWT值,加之实际的观测信号都是离散的,所以信号处理中就必须用离散小坡变换(DWT)。离散小波变换主要是建立在二进制小波变换的基础上,目前最通行的办法是,对尺度按2的幂级数进行离散,最有效的计算方法是S.Mallat于1988年发展的快速小波算法(又称塔式算法)。因为对于大多数信号来说,低频部分往往是最重要的,它给出了信号的主要特征。而高频部分则与噪音及扰动联系在一起,若将信号高频部分去掉,就会使得信号的主要特征变得更为明显,而信号的基本信息不丢失。离散小波变换处理信号就遵循了这种思想。对任一信号S,离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分A1(近似部分)和高频部分D1(细节部分)。近似部分A1代表了信号的主要特征。第二步改变尺度因子后再对低频部分A1进行第一步的运算。依次反复进行。但信号分解的层数不是任意的,一般情况下长度为N的信号最多分解成log2N层,信号的小波分解如图4

。[8]

图4　信号的小波分解

小波变换处理信号绝不仅限于将信号分解然后重构,小波变换的强大功能依赖于对分解后的小波系数的理解和处理。到目前为止,对小波系数的理解和解释刚刚开始,如何有效利用隐藏在系数里的信息,是开发小波变换潜能的关键。需要指出的是虽然小波变换与傅里叶交换有诸多的不同,但是小波变换是傅里叶交换的发展与延拓,它一直与傅里叶交换密切相关。小波分析中小波基的构造以及结果的分析都依赖于傅里叶分析,二者是相辅相成的关系。

　第2期　　　　　　　　　　　　　刘素美,等:小波分析的理论发展及应用632　小波分析的应用

随着小波理论的日益成熟,人们对小波分析的实际应用越来越重视,小波分析的应用范围极广,遍及自然科学、应用科学乃至社会经济等许多领域。下面仅就目前小波分析的部分应用领域作一点探讨。

2.1　信号奇异性检测

信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息,它是信号的重要特征之一。比如,在故障诊断中,故障通常表现为输出信号发生突变,因而对突变点的检测在故障诊断中有着重要的意义。由于傅里叶交换将信号变换成纯频域中的信号,而使它不具有时间分辨的能力,故对信号在时域中的突变点根本无法检测出来。而小波变换具有良好的空间局部化性质,利用小波变换对信号的奇异性及奇异性位置和奇异

[14]度的大小都有比较准确的判断。Grossmann利用Hardy函数给出了一种测定信号奇异性的方法,他把小波

变换分为:小波变换相位函数空φ(s,x)和小波变换模函数ρ(s,x),但由于相位函数不是测定奇异件的充要条件,1992年由Mallat[15]等人基于计算机视觉研究中的多尺度变换提出了一种更加有效的方法,用小波变换的模极大值检测信号的奇异点,在分析典型心电图(ECG)时得到比较理想的效果。小波分析检测信号突变点的一般方法是:对信号进行多尺度分析,在信号出现突变时,其小波变换后的系数具有模量极大值,因而可以通过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。

2.2　信号的消噪处理

去噪是信号处理领域经常遇到的问题,最简单的也比较通用的去噪方法是对信号直接进行低通或带通滤波。虽然这种方法简单,易于实现,但它不能滤去有效频带内的噪声,并且滤波器带宽的选择与高分辨率是相矛盾的。小波分析比经典的滤波方法更具有灵活性。以小波变换为基础的时变信号去噪方法是把含噪声信号放在二维平面上,利用信号和噪声表现出的截然不同的特性进行分时分频处理。多尺度小波下信号

[16,17][18]与噪声的不同特征的理论为提高MR图像质量提供了新的理论根据。1994年,Xue等人根据这个理

论提出了一种MR图像的去噪算法,它的基本思想是:通过比较相邻尺度小波系数的相关与较小尺度上的小波系数的绝对值大小来区分信号和噪声,能在较好地保留边缘的同时滤除噪声。Coifman和Donoho利用非线性阈值小波处理方法可以有效的提取出被强大背景噪声所淹没了的有用信号。通过小波的信号消噪处理不但能获得较高的信噪比而且能够保持良好的时间分辨率。

2.3　数据图像压缩

对于图像来说,如果需要进行快速或实时传输以及大量存储,就需要对图像数据进行压缩。所谓压缩就是去掉图像信息中的各种冗余而保留有用信息。小波分析进行数据压缩是通过只保存模极大值的信息来实现的。虽然模极大值包含的原信息并不完备,但在一定程度上由极大值重建的信号可以很好的逼近原信号。基于小波分析的图像压缩方法很多,目前比较成功的有小波包最好基方法、小波域纹理模型方法、小波变换零树压缩、小波变换向量量化压缩等。用小波分析方法进行数据图像压缩时,压缩比高,压缩速度快,压

[19]缩后能保持信号与图像的基本特征不变且在传递过程中可以抗干扰。美国耶鲁大学以R.Coifman教授等

人为代表的小波研究小组用小波分析对美国联邦调查局存贮的三亿指纹进行数据压缩,取得了二十倍有益的成果,因为存储光盘的减少而节省的费用也有三千万美元,由指纹传输时间缩短为原来的二十分之一所创造的价值更是无法估计。

2.4　图像处理

在图像处理中,小波分析的应用是很成功的。1988年Mallat将计算机视党领域内的多分辨分析引入小波分析中提出了快速小波算法———Mallat算法,并将这一理论用于图像分析和完全重构。小波变换可以将一幅图像分解为大小位置和方向都不同的分量。在做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小,从而能够有选择的放大所感兴趣的分量而减小不需要的分量(这就是我们通常所说的图像增强)。小波变换可以有效的进行图像融合,图像融合是多传感器信息融合领域的一个重要分支,它是指将来自同一目标的不同传感器的信息通过一定的算法融合到一幅图上,从而获得比在单幅图上更完整、更精确的信息。图像融合在军事(如军事侦察、识别伪装)和非军事(如医疗诊断、遥感、计算机技术等)领域得到广泛的应用[20][17][20][14][23][21][22],

64　　　　河　北　理　工　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　第27卷　小波变换对图像的拼接和镶嵌具有很好的效果。图像处理是小波变换理论非常有前景的应用领域。

2.5　其它应用

小波分析在地球物理勘探中对寻找地壳物质物性参数的奇异性具有非常的意义。小波分析是数值分析强有力的工具,能简洁有效的求解偏微分方程、积分方程以及线性非线性问题。它还在医学领域中有着广泛的应用,利用它可以有效的识别淋巴细胞微核,有效的检验药品以及其他各种化合物的毒性。人们利用小波方法对平面叶栅叶型进行优化设计,从而有效地解决了流体力学中传统方法难以解决的难度较大的问题。另外它也广泛地应用于量子场论、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、天体识别、机器视觉、分形以及数字电视等方面。

3　小波分析理论的展望

小波分析已对许多学科产生了多方面的影响,并已激起了众多科学家和科技工作者的极大热情。从诞生到现在不过短短十几年的时间,已经取得了巨大的成就和发展,它正在世界上带来一场局部化革命。但由于以下几点原因可以说小波分析应用的真正高潮尚未到来。首先,小波理论尚不完善,除一维小波理论比较成熟外其它各类小波如高维小波、向量小波中的正交小波、双正交小波、二进小波等的构造和基本性质理论有待进一步研究。其次,现在国内外虽然已有一些较好小波基的选取方法,但缺乏系统规范的最佳小波基的选取原则,因此小波基的优化选择仍是小波理论进一步研究的重要内容。再者目前小波分析软件尚不成熟和完善,还没有大型、系统、权威的小波分析软件。为了使小波应用的深度和广度得到进一步拓展,除了小波理论的研究外还要再挖掘有前景的应用领域。小波分析在图像数据压缩方面人们期待用小波能实现更高压缩比,更高重现度图像的压缩。分析非平稳非线性问题的关键是对非线性小波分析的进一步研究,需要小波分析与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化等方法相结合,形成小波神经网络、小波模糊神经网络、小波分形等方法。另外,人们也期待着小波与其它理论的进一步的广泛综合应用,来解决更多的生产实际问题。参考文献:

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