2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)(1)

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，|a b||b c|可以化简为（ ）．

（A）2c a （B）2a 2b （C） a （D）a

b

2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有

x两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．

（A）（2，3） （B）（3，－2） （

C）（－2，3） （D）（3，2） 3．如果a，b为给定的实数，且1 a b，那么1，a 1， 2a b，a b 1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）

112a 1

（C） （D）

244

4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的

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概率为p0，p1，p2，p3，则p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）． （A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

7．如图，正方形ABCD的边长为

E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .

8．如果关于x的方程x2+kx+那么

x1x2

20112012

329

k－3k+= 0的两个实数根分别为x1，x2，

24

的值为

9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与 EC的延长线交于点F. 若AE = AO， BC = 6，则CF的长为.

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三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知二次函数y x2 （m 3）x m 2，当 1 x 3时，恒有y 0；关

（m 3）x m 2 0的两个实数根的倒数和小于 于x的方程x2

9

．求m的取10

值范围．

12．如图，⊙O的直径为AB，⊙O 1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O 1交于点D，且OD CD．点E在OD上，且DC DE，BE的延长线与⊙O 1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．

13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.

14．求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2，　，x2012，满足

x1 x2

x20，且1

12

x1x2

2012

n. x2012

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2012年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

b a 0 c，且b c，

所以

|a b||b c| a (a b) (c a) (b c) a．

2．D

解：由题设知， 2 a ( 3)，( 3) ( 2) b，所以a ，b 6.

y

解方程组

y

2

x，

x 3， x 3，3

得

y 2；y 2.6 ，

x

23

所以另一个交点的坐标为（3，2）.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

3．D

解：由题设知，1 a 1 a b 1 2a b，所以这四个数据的平均数为

1 (a 1) (a b 1) (2a b)3 4a 2b

，

44

(a 1 )a( b 1) 4a 4b2

中位数为 ，

244 4a 2b3 4a 2b1

于是 .

444

4．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得

x 2 n(y 2)，

y n 2(x n)，

消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =

(2y 7) 1515

1 .

2y 72y 7

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因为

15

为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只2y 7

能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

5．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以p0

二、填空题 6．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得

x－26≤487， x－80＞487.

解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，3x 2≤487 9x 8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．

7．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADANDN2

， BFNFBN1

2

由此得AN 2NF，所以AN AF.

3

98910，p1 ，p2 ，p3 ，因此p3最大． 36363636

在Rt△ABF中，因为AB 2a，BF a，所以

AF，

于是 cos BAF

AB . AF由题设可知△ADE≌△BAF，所以 AED AFB，

AME 1800 BAF AED 1800 BAF AFB 90. 于是 AM AE cos BAF

，