2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)(1)
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2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)(1)
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中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年全国初中数学竞赛试题
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,|a b||b c|可以化简为( ).
(A)2c a (B)2a 2b (C) a (D)a
b
2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有
x两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).
(A)(2,3) (B)(3,-2) (
内容需要下载文档才能查看C)(-2,3) (D)(3,2) 3.如果a,b为给定的实数,且1 a b,那么1,a 1, 2a b,a b 1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A)1 (B)
112a 1
(C) (D)
244
4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的
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概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ). (A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .
7.如图,正方形ABCD的边长为
内容需要下载文档才能查看E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .
8.如果关于x的方程x2+kx+那么
x1x2
20112012
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k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,
24
的值为
9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .
10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与 EC的延长线交于点F. 若AE = AO, BC = 6,则CF的长为.
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三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.已知二次函数y x2 (m 3)x m 2,当 1 x 3时,恒有y 0;关
(m 3)x m 2 0的两个实数根的倒数和小于 于x的方程x2
9
.求m的取10
值范围.
12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O 1交于点D,且OD CD.点E在OD上,且DC DE,BE的延长线与⊙O 1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.
13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.
14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,x2012,满足
x1 x2
x20,且1
12
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x1x2
2012
n. x2012
中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1.C
解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知
b a 0 c,且b c,
所以
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看|a b||b c| a (a b) (c a) (b c) a.
2.D
解:由题设知, 2 a ( 3),( 3) ( 2) b,所以a ,b 6.
y
解方程组
y
2
x,
x 3, x 3,3
得
y 2;y 2.6 ,
x
23
所以另一个交点的坐标为(3,2).
注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).
3.D
解:由题设知,1 a 1 a b 1 2a b,所以这四个数据的平均数为
1 (a 1) (a b 1) (2a b)3 4a 2b
,
44
(a 1 )a( b 1) 4a 4b2
中位数为 ,
244 4a 2b3 4a 2b1
于是 .
444
4.D
解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得
x 2 n(y 2),
y n 2(x n),
消去x得 (2y-7)n = y+4, 2n =
(2y 7) 1515
1 .
2y 72y 7
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因为
15
为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只2y 7
能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.
5.D
解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以p0
二、填空题 6.7<x≤19
解:前四次操作的结果分别为
3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.
由已知得
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x-26≤487, x-80>487.
解得 7<x≤19.
容易验证,当7<x≤19时,3x 2≤487 9x 8≤487,故x的取值范围是 7<x≤19.
7.8
解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以
ADANDN2
, BFNFBN1
2
由此得AN 2NF,所以AN AF.
3
98910,p1 ,p2 ,p3 ,因此p3最大. 36363636
在Rt△ABF中,因为AB 2a,BF a,所以
AF,
于是 cos BAF
AB . AF由题设可知△ADE≌△BAF,所以 AED AFB,
AME 1800 BAF AED 1800 BAF AFB 90. 于是 AM AE cos BAF
,
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