2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题

2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知x,y为整数，且满足( 则x y的可能的值有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C.

1x111211

错误！未找到引用源。)(2 2) (4 4)，

yxy3xy

x yx2 y22x4 y4

由已知等式得 22 44，显然x,y均不为0，所以x y＝0或

xyxy3xy

3xy 2(x y).

若3xy 2(x y)，则(3x 2)(y3

x 1，

或2 ) .又4x,y为整数，可求得

y 2,

x 2，

所以x y 1或x y 1.

y 1.

因此，x y的可能的值有3个.

2．已知非负实数x,y,z满足x y z 1，则t 2xy yz 2zx的最大值为 （ ）

A．

45912

B． C． D．791625

【答】 A.

1

t 2xy yz 2zx 2x(y z) yz 2x(y z) (y z)2

4

7317341

2x(1 x) (1 x)2 x2 x (x )2 ，

4244774

342

易知：当x ，y z 时，t 2xy yz 2zx取得最大值.

777

3．在△ABC中，AB AC，D为BC的中点，BE AC于E，交AD于P，已知BP 3，PE 1，则错误！未找到引用源。＝（ ）

A

B

C

D

【答】 B.

BE AC，因为AD BC，所以P,D,C,E四点共圆，所以BD BC BP BE 12，

又BC

2BD，所以BD

，所以DP .

又易知△

AEP∽△BDP，所以

AEPE

BDDP

，从而可

得

AE

PE BD DP4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）

A．

1223 B． C． D．2534

【答】 B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.

因此，所求概率为

82 . 205

3

5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t} t [t].已知实数x满足x 则{x} { （ ）

1

18，3x

1x11

A． B

．3 C

．(3 D．1

22

111111

a，则x3 3 (x )(x2 2 1) (x )[(x )2 3] a(a2 3)，xxxxxx

【答】 D. 设x

22

所以a(a 3) 18，因式分解得(a 3)(a 3a 6) 0，所以a 3.

1111

3解得x (3 ，显然0 {x} 1,0 1，所以{x} { 1. x2xx6．在△ABC中， C 90 ， A 60 错误！未找到引用源。，AC 1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ADE 90 ,则BE的长为（ ）

1

A

．4 B

．2 C

．1) D

1

2

由x

【答】 A.

过E作EF BC于F，易知△ACD≌△DFE，△EFB∽△ACB.

设EF x，则BE 2x，AE 2 2x，

A

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2

DF AC 1，

10 .又0 x 1，

故12 x即x2 4x DE x)， [ x2，

故可得x 2

故BE 2x 4

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数a,b,c满足a b c 1，

111

1，则

a b cb c ac a b

abc ____．

【答】 0. 由题意知

111

1，所以 1 2c1 2a1 2b

(1 2a)(1 2b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)

整理得2 2(a b c) 8abc，所以abc 0. 2．使得不等式数n为 ．

【答】144.

9n8 错误！未找到引用源。对唯一的整数k成立的最大正整17n k15

7k8k 17k 18 ，由k的唯一性，得 且 ，所以8n9n8n9

2k 1k 1871 ，所以n 144. nnn9872

7k8

当n 144时，由 可得126 k 128，k可取唯一整数值127.

8n9

由条件得

故满足条件的正整数n的最大值为144.

3．已知P为等腰△ABC内一点，AB BC， BPC 108 ，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则 PAC ．

【答】48 .

由题意可得 PEA PEB CED AED，

而 PEA PEB AED 180 ，

所以 PEA PEB CED AED 60 ， 从而可得 PCA 30 .

又 BPC 108 ，所以 PBE 12 ，从而 ABD 24 . 所以 BAD 90 24 66 ， 11

PAE ( BAD CAE) (66 30 ) 18 ，

22

所以 PAC PAE CAE 18 30 48 .

D

2

4．已知正整数a,b,c满足:1 a b c，a b c 111，b ac，则b ．

【答】36.

设a,c的最大公约数为(a,c) d，a a1d，c c1d，a1,c1均为正整数且(a1,c1) 1，，则有a1 c1，则b2 ac d2a1c1，所以d2|b2，从而d|b，设b b1d（b1为正整数）而(a1,c1) 1，所以a1,c1均为完全平方数，设a1 m2,c1 n2，则b1 mn，m,nb12 a1c1，

均为正整数，且(m,n) 1，m n.

又a b c 111，故d(a1 b1 c1) 111，即d(m2 n2 mn) 111. 注意到m2 n2 mn 12 22 1 2 7，所以d 1或d 3.

22

若d 1，则m n mn 111，验算可知只有m 1,n 10满足等式，此时a 1，

不符合题意，故舍去.

22

若d 3，则m n mn 37，验算可知只有m 3,n 4满足等式，此时

a 27,b 36,c 48，符合题意.

因此，所求的b 36.

第二试 （A）

一、（本题满分20分）设实数a,b满足a(b 1) b(b 2a) 40，a(b 1) b 8，求

2

2

11 的值． a2b2

解 由已知条件可得ab (a b) 40，ab (a b) 8.

22

设a b x，ab y，则有x y 40，x y 8，……………………5分

22

2

联立解得(x,y) (2,6)或(x,y) (6,2). ……………………10分

2

若(x,y) (2,6)，即a b 2，ab 6，则a,b是一元二次方程t 2t 6 0的两

根，但这个方程的判别式 ( 2) 24 20 0，没有实数根；…………………15分

2

若(x,y) (6,2)，即a b 6，ab 2，则a,b是一元二次方程t 6t 2 0的两根，

2

这个方程的判别式 ( 6) 8 28 0，它有实数根.所以

2

11a2 b2(a b)2 2ab62 2 2 22 8. ……………………20分 a2b2aba2b222

二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足 ECD ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明： DFE AFB．

B

F

证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知 ECD ACB DA.……………………5分

又A、B、F、 D四点共圆，所以 BDC ABD AFD，所以△ECD∽△DAF， ……………………15分

EDCDAB

. ……………………20分 DFAFAF

又 EDF BDF BAF，所以△EDF∽△BAF，

所以

故

DFE AFB. ……………………25分

三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n x3 y3 z3 3xyz，则称n具有性质P.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.

333

解 取x 1，y z 0，可得1 1 0 0 3 1 0 0，所以1具有性质P.

333

取x y 2，z 1，可得5 2 2 1 3 2 2 1，所以5具有性质

P.…………………5分

为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z) x y z 3xyz，则

3

3

3

f(x,y,z) (x y)3 z3 3xy(x y) 3xyz (x y z)3 3(x y)z(x y z) 3xy(x y z)

＝(x y z) 3(x y z)(xy yz zx)

3

(x y z)(x2 y2 z2 xy yz zx)

1

(x y z)[(x y)2 (y z)2 (z x)2]. 2

1222

即f(x,y,z) (x y z)[(x y) (y z) (z x)] ①

2

……………10分

不妨设x y z，

如果x y 1,y z 0,x z 1，即x z 1,y z，则有f(x,y,z) 3z 1； 如果x y 0,y z 1,x z 1，即x y z 1，则有f(x,y,z) 3z 2；