2002年全国初中数学竞赛试题

2002年全国初中数学竞赛试题

一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. 设a＜b＜0，a＋b＝4ab，则

2

2

a b

的值为（ ）。 a b

A、3 B、6 C、2 D、3

222

2. 已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a＋b＋c－ab－bc－ca的值为( )。

A、0 B、1 C、2 D、3 3. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

S四边形AGCDS矩形ABCD

D

等于( )。

C

G

FB

5432A、 B、 C、 D、

6543

4. 设a、b、c为实数，x＝a－2b＋

2

A

3

，y＝b－2c＋

2

3

，z＝c－2a＋

2

3

，则x、y、z中至少有一个

值( )。

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5. 设关于x的方程ax＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是( )。

A、

2

22222

＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、 ＜a＜0

557711

6. A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于( )。

A、a2 b2 B、a2 ab b2 C、

1

a b D、a＋b 2

二、 填空题（每小题5分，共30分）

2

7. 设x1、x2是关于x的一元二次方程x＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。 8. 已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则a c c b的值为 。

9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。 A

P

B

1

10. 如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空

2

隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm。

2n＋2

11. 满足(n－n－1)＝1的整数n有 个。

12. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。

三、 解答题（每小题20分，共60分） 13. 某项工程，如果由甲、乙两队承包，2

23天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3天546

完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独

7

承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。

A

QDACCPAC2

(1)求证：（2）求证： 2EDECPECE

B

F

Q

C

ED

2

15. 如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是

2

否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax＋bx＋c的值都是平方数？

2

2002年全国初中数学竞赛试题

一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. 设a＜b＜0，a＋b＝4ab，则

2

2

a b

的值为（ ）。 a b

A、3 B、6 C、2 D、3

答案：A.由题意

:

a

b =

>0，且

a b

2

= =3。

222

2. 已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a＋b＋c－ab－bc－ca的

值为( )。

A、0 B、1 C、2 D、3

答案：原式=

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2

]=

[1+1+4]=3。

3. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

S四边形AGCDS矩形ABCD

D

等于( )。

C

G

FB

A、

5432

B、 C、 D、 6543

答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点，

A所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则

,得

2x+2y= .

所以S四边形AGCD

=

4.

.从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.

2

设a、b、c为实数，x＝a－2b＋

3

，y＝b－2c＋

2

3

，z＝c－2a＋

2

3

，则x、y、z中至少有一个

值( )。

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

222222

y、z中至少有一 个答案：由题意:x+y+z=a+b+c-2a-2b-2c+ =(a-1)+(b-1)+(c-1)+ -3>0,所以x、

大于0.

5.

设关于x的方程ax＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值

范围是( )。 A、

2

22222

＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、 ＜a＜0

557711

<0,可知选(A).

答案：由题知:(x1-1)(x2-1)<0, 即x1x2-(x1+x2)+1<0,

代入韦达定理并整理得

3

6. A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于( )。 A、a2 b2 B、a2 ab b2 C、

答案：.延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4

均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b.

1

a b D、a＋b 2

二、 填空题（每小题5分，共30分）

2

7. 设x1、x2是关于x的一元二次方程x＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值

为 。

222

答案：由Δ=(a-2)+4>0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)=-2a+9a-18≤

-

.

8.

已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则a c c b的值为 。

2

答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t-dt-2=0)的两实

根.所以(a-c)(b-c)= -2<0.而a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=b-a.

9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，

且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。

答案：易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以

=

,得PB=4

B

A

P

10. 如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间

2

作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm。

答案：设⊙O3的半径为x,则O1O3

=

2

+x，O1

O=

a2.

,O3

O=

- x. 所以( +x)2

=(

)2+（ - x）

,解得

x=

2

,易得菱形O1O3O2O4的面积为

n＋2

11. 满足(n－n－1)

＝1的整数n有 个。

A

2

答案：由题设得n-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-2

12. 某商品的标价比成本高p%不得超过d%，则d可以用p表示为 。

答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=

三、 解答题（每小题20分，共60分） 13. 某项工程，如果由甲、乙两队承包，2

.

23

天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3天完54

6

成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承

7

包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

4

答案：设单独完成,甲、乙、丙各需a、b、c天.则

解得a=4, b=6, c=10（c>7,舍去).

又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元),则

12

5(x y) 180000 15

(y z) 150000

3 20

7(z x) 160000

解得x=45500, y=29500, 所以甲4天完成的总费用为182000元, 乙6天完成的总费用为177000元, 所以由乙承包.

14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的

交点为P。

A

QDACCPAC2

(1)求证：（2）求证： EDECPECE2

答案：(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2, 所以ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立. (2)分析:易证∠6=∠4,所以FC∥ED,

所以

=

B

F

Q

E

DC

所以只需证

= ,

由(1)

有

= 。

所以只需证

=

,即QD2=CQ×EQ.

5