2003年全国初中数学竞赛试题

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个

结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）

5x2 2y2 z2

1. 若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ).

2x 3y2 10z2

(A)

119 (B) (C) 15 (D) 13 22

2. 在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时

付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ). (A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3. 如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

C

D

E

B

AG

AF

D

C

O

B

（第3题图）

（第4题图）

4. 四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且

AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）. (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其

排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种

二、 填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6. 已知x 1 ，那么

111

2 . x 2x 4x 2

1171

4，y 1，z ，则xyz的值为zx3y

7. 若实数x，y，z满足x

8. 观察下列图形：

① ② ③ ④ 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .

9. 如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰

好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º CD=4m，BC=4 22m，则电

线杆AB的长为_______m.

（第9题图）

10. 已知二次函数y ax2 bx c（其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 . 三、 解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作

DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

(第11题图)

12. 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的

时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

13. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：

(第12题图)

CD2 BD2AD BD

.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存

BC2AB

在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

C

B

D A

14. 已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求a b c的最小值.

15. 如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2 2(k 2)x k 0（k是整数）的

最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA PB PC的值.

16. 沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a d)(b c)>0，

那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a d)(b c)≤0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2， ，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a d)(b c)≤0？请说明理由.

222

P

(第13A题图)

4

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个

结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）

5x2 2y2 z2

1. 若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则2的值等于 ( ).

2x 3y2 10z2

(A) 1．D

由

119 (B) (C) 15 (D) 13 22

4x 3y 6z 0, x 3z,

解得 代入即得.

x 2y 7z 0,y 2z.

2. 在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时

付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3. 如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

C

D

E

B

A

AF

D

C

O

B

（第3题图）

3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

A G

A

B D

C O F

M

C

N B

（第4题图）