2005年全国初中数学竞赛试题

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号

为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分）

1. .如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6. 将纸片折叠，使得AD边

落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）。

A.2 B.4 C.6

D.8

A

B

D

C

(A) (B) (C)

2. 若M 3x2 8xy 9y2 4x 6y 13（x，y是实数），则M的值一定是（ ）。

A.正数 B.负数 C.零 D.整数 3. 已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，

AB的对称点. 若点B在△A1 B1 C1的外接圆上，则∠ABC等于（ ）。 A.30° B.45° C.60° D.90°

1 1

4. 设A 48 2 2

3 44 4

1

则与A最接近的正整数是（ ）。 ，

1002 4

A.18 B.20 C.24 D.25

a

5. 设a，b是正整数，且满足56 a b 59，0.9 0.91，则b2 a2等于

b

（ ）。

A.171 B.177 C.180 D.182 二、 填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6. 在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）.

若现在时间恰好是12点整，则经过____________秒钟后，△OAB的面积第一次达到最。

3

7. 在直角坐标系中，抛物线y x2 mx m2（m＞0）与x轴交于A，B两点.

4

112 ，则m的若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足

OBOA3

值等于_______________。

8. 有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后

是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3， ，

J，Q，K的顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层， 如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_______________。

9. 已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，

EC＝2，连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的的面积之比为＿＿＿＿. 10. 已知x1，x2， ，x40都是正整数，且x1 x2

若x12 x22 x0 x40 58，4

2

的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于_______________。 三、 解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11. 8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司

机）.其中一辆小汽车在距离火车站10km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟.这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h..试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.

12. 如图，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两

圆于C，D两点. 连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点.求证： （1）

BPNQ

； PMQB

D

（2）△KPM∽△NQK

13. 已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2 8p 10q x 5pq 0至

少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）.

14. 从1，2， ，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出

来的数中的任意三个数a，b，c（a＜b＜c）都有ab c.

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题 （2005年4月10日 上午9：30－11：30）

答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.

一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号

为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分）

1. .如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6. 将纸片折叠，使得AD边

落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）。

A.2 B.4 C.6

D.8

A

B

D

C

(A) (B) (C) 解答：由AB＝8，AD＝6=>在(B)图中DB=AB-AD=2

=>在(C)图中BA=AD-DB=4，而∠DEA=45，所以∠CEF=45，因此CF=CE=DB=2，

1

S△CEF= 2 ×2×2=2

2. 若M 3x2 8xy 9y2 4x 6y 13（x，y是实数），则M的值一定是（ ）。

A.正数 B.负数 C.零 D.整数

解答：解法1：M 3x2 8xy 9y2 4x 6y 13=2x2-8xy+8y2+x2-4x+4+y2+6y+9 =2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2

由于当x=2y,x=2,y=-3不可能同时成立，所以M>0。选A

解法2：令Y=0，M=3x2-4x+13=2x2+x2-4x+4+9=2x2+(x-2) 2+9>0 所以B、C、D都不对。所以选A

3. 已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，

AB的对称点. 若点B在△A1 B1 C1的外接圆上，则∠ABC等于（ ）。 A.30° B.45° C.60° D.90°

解答：解法1：由于是选择题，这种题目一般取ABC为特殊三角形来验证是最快的解法，这里我们取三角形ABC为等边三角形， A1，B1，C1都在三角形ABC的外接圆上，所以△A1B1C1的外接圆与△ABC的外接圆是同一个，因此点B在△A1 B1 C1的外接圆上，所以选C

1

解法2：由A1，C1的对称性可知∠C1BA1=2∠ABC，∠C1B1I=2BAC，∠

o

o

1

A1B1I=2∠ BCA，

1

∠C1B1A1= ∠C1B1I + ∠A1B1I =2(∠BAC+∠BCA)

1

点B在△A1 B1 C1的外接圆可知，∠C1BA1+∠ C1B1A1=180=>2(∠BAC+∠BCA)+ 2∠ABC=180 133

=>2(∠BAC+∠BCA+ ∠ABC)+ 2ABC=180=>2∠ABC=90=>∠ ABC=60

1 1

4. 设A 48 2 2

3 44 4

1

则与A最接近的正整数是（ ）。 ，2

100 4

A.18 B.20 C.24 D.25

44411

解答： n-4 = n-2 =(n+2)(n-2)n-2n+2441111114×3-4+ +100-4)= 3-23+24-24+2……+100-2+100+2

111111111111=1+2+3+499100101102=2+1299-100101-102

111111111

12×(2+12-99-100-101-102)=25-12×(99+100101102111148112×99100+101+102992所以与A最接近的正整数是25 选D

a

5. 设a，b是正整数，且满足56 a b 59，0.9 0.91，则b2 a2等于

b

（ ）。

A.171 B.177 C.180 D.182 56595659

解答：1.911.9=>29.3<1.911.9<30.1=>a=30或者31 如果a=30，b>30×0.9=27 b<30×0.91=27.3无法选b

如果a=30，b>31×0.9=27.9 b<31×0.91=28.21 b只能为28 b2-a2=312-282=(31+28)×(31-28)=59×3=177 选B 二、 填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6. 在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）.

若现在时间恰好是12点整，则经过____________秒钟后，△OAB的面积第一次达到最。

解答：当OA⊥OB时，△OAB的面积最大，我们只须计算第一次OA⊥OB的时间

设经过x秒钟后，第一次OA⊥OB xx900x- 60=15 (15秒为90o，分针走了60593

7. 在直角坐标系中，抛物线y x2 mx m2（m＞0）与x轴交于A，B两点.

4