2007年全国初中数学竞赛试题

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2007年全国初中数学竞赛试题

一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，

其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

??x?y?121. 方程组?的实数解的个数为（ ） ??x?y?6

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2. 口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个

但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）

（A）14 （B）16 （C）18 （D）20

3. 已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径

与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

4. 已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax?bx?c?0，2

a2b2c2

??bx?cx?a?0，cx?ax?b?0恰有一个公共实数根，则的值为（ ） bccaab22

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

5. 方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x，y)的个数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6. 如图，点A，C都在函数y?33(x?0)的图像上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCDx

都是等边三角形，则点D的坐标为__________________。

7. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段

BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是__________________。 第6题图第

7题图第8题图

90?，则n?__________________。

8. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =n·

1

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9. 已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y?x2?(a?3)x?3的图像与线段AB只

有一个交点，则a的取值范围是__________________。

10. 已知对于任意正整数n，都有a1?a2???an?n3，则

111?????__________________。 a2?1a3?1a100?1

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11. 已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y?12x上的一个动点．（1）判断以4

12x的另一个4点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1的位置关系；（2）设直线PM与抛物线y?

交点为点Q，连接NP，NQ，求证：?PNM??QNM

12. 已知抛物线C1：y??x?3x?4和抛物线C2：y?x?3x?4相交于Ａ，Ｂ两点．点P在抛物线22

C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．

（1）求线段AB的长；

（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

2

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13. 已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x?abx?

把它们求出来；如果没有，请给出证明．

14. 如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足21(a?b)?0是否有两个整数解？如果有，请2DEAD?．若CD，FE的CFBC

延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：

（1）ADPD?； BCPC

（2）△PAB∽△PDC．

15. （1）是否存在正整数m，n，使得m(m?2)?n(n?1)？

（2）设k(k?3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m(m?k)?n(n?1)？

3

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

??x?y?12,1．方程组?的解的个数为（ ）． x?y?6??

（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4

答：（A）．

??x?y?12,解：若x≥0，则?于是y?y??6，显然不可能． x?y?6,??若x?0，则 ????x?y?12, ??x?y?6,

于是y?y?18，解得y?9，进而求得x??3．

?x??3,所以，原方程组的解为?只有1个解． y?9,?

故选（A）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．

（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20

答：（B）．

解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2，3，4，5 3，2，1，0 4

4 3，4，5，6 3，2，1，0 4

3 4，5，6，7 3，2，1，0 4

2 5，6，7，8 3，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（B）．

3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）．

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

答：（B）．

解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以?BAC，?ABE均为锐角．又因为⊙O

的 4

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半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以?BAC??ABE．于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC．

若△ABC的外心为O1，则?BOC?2?BAC，所以，⊙O一定过△ABC的外心． 1

故选（B）．

4．已知三个关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0 a2b2c2

??恰有一个公共实数根，则的值为（ ）． bccaab

（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3

答：（D）．

解：设x0是它们的一个公共实数根，则

ax0?bx0?c?0，bx0?cx0?a?0，cx0?ax0?b?0．

把上面三个式子相加，并整理得

2(a?b?c)(x0?x0?1)?0． 222

因为x0?x0?1?(x0?)?21

223?0，所以a?b?c?0．于是 4

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

???? bccaababcabc

?

故选（D）．

5．方程x?6x?5x?y?y?2的整数解（x，y）的个数是（ ）．

（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多

答：（A）．

解：原方程可化为x(x?1)(x?2)?（3x?x）?y(y?1)(y?1)?2，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图, 点A，C

都在函数y?2323?3ab(a?b)?3． abcx?0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．

答：

（0）．

解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE

，CF 5