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抽屉原理在生活中的应用

上传者:樊建席
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上传时间:2015-04-29
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抽屉原理在生活中的应用

抽屉原理在生活中的应用

学院:经济学院 专业:工商管理类2班

姓名:陈嘉妮 学号:101012012109

摘要:数学家华罗庚曾经说过:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。在我们的日常生活中,数学的应用无处不在,只要我们细心观察就能发现数学与生活之间微妙的联系。而在众多日常生活数学问题中,抽屉原理是比较常见的。抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

引言:同年出生的400人中至少有2个人的生日相同;从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套;从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同;任取5个整数,必然能够从中选出三个,使它们的和能够被3整除;某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候,无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多;······

经过证明,这些结论都是正确的。而证明所运用的原理就是抽屉原理

正文:桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有

n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是组合数学中一个重要的原理。 第一抽屉原理

原理1: 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),故不可能。

原理2 :把多于mn+1(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能。

原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

第二抽屉原理

把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。

证明(反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,故不可能。

根据抽屉原理的内容我们可以证明生活中的许多数学问题。

一. 生日问题

同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。

证明:将一年中的365天(或366天)视为365(366)个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2 又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同

二. 握手问题

某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候,无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多

证明:共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2,还是后一种状态1、2、3、…、n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。

三. 借书问题

11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同

证明:若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同。

四. 整除问题 把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],?,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,?.在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。(证明:n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等(抽屉原理),不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b,则m-n整除n)。

例1 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。 证明: 在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然

数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数。

五. 订阅问题 六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?

解析:首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有:订甲、订乙、订丙3种情况;

订二种杂志有:订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;

订三种杂志有:订甲乙丙1种情况。

总共有3+3+1=7(种)订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。因为100=14×7+2。根据抽屉原理2,至少有14+1=15(人)所订阅的报刊种类是相同的。

生活中的抽屉原理应用还有很多很多,需要我们细心去发现,研究。解决这类问题的关键是正确利用抽屉原理的具体内容,正确构建抽屉。

其实抽屉原理在现实生活中仅仅只是生活中的数学的冰山一角,数学就在我们身边,用心观察生活,就会发现其中的奥妙。

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