小升初数学完整版圆教材

圆的认识

与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，是人们生活中常见

的图形，也是“图形与几何”的主要研究对象。本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形——圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。圆是常见的几何图形之一，不仅日常生活中有许多圆形物体，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。圆的有关性质，也被广泛应用。圆也是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系。所以本章教学在小学占有重要地位。

教学目标

知识与技能：

（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，?探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

过程与方法：

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，?让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，?使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．

（5）探索弧长、扇形的面积、?圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．

情感、态度与价值观：

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生1

有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。

圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。

圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或d。 2

圆的周长的意义：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 圆周率的意义：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14.

圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。

圆的周长计算公式的应用：

（1） 已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。

（2） 已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。

（3） 已知圆的周长，求圆的半径：r=C?π?2.

（4） 已知圆的周长，求圆的直径：d=C?π。

圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。

圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S=?r2。

圆的面积计算公式的应用： r=

（1） 已知圆的半径，求圆的面积：S=?r。

（2） 已知圆的直径，求圆的面积：r=d

2?d?S???2??2?，S=?r或

222。 2S???C?2???（3） 已知圆的周长，求圆的面积：r=C?2?π，S=?r或。

圆环的意义：两个半径不相等的圆，当圆心重合时两圆之间的部分；也可以概括说是两个半径不等的同心圆之间的部分。

圆环面积的计算方法：用S表示圆环的面积，圆环的面积计算公式为：S??R2??r2或S???R2?r2?。

圆环面积的计算公式的应用：

（1） 已知外圆半径和内圆半径，求圆环的面积：S??R2??r2或S??R2?r2。

（2） 已知圆环内、外圆的直径，求圆环的面积：S???D?2????d?2?。 一个圆的半径扩大x倍，则直径扩大x倍，周长扩大x倍，面积扩大x²倍。

两个圆半径的比为 m ：n，则直径比为m ：n，周长比为m ：n，面积比为m² ：n²。 周长相等的图形中，圆形面积最大。

2

22??

大圆半径是小圆半径的x倍，则大圆直径和周长都是小圆的x倍，大圆面积是小圆的x²倍。 扇形及弧长：

n?Rn?R2

n的圆心角所对的弧长L=及S扇形＝的公式的应用． 180360

圆锥侧面展开图的理解． 《嫦娥奔月》故事里面有这样一段：“嫦娥吞下药，身子立时飘离地面、冲出窗口，飞落到离人间最近的月亮上成了仙。”这里的月亮是圆形，我们今天就来学习圆的相关例题。

（知识点一）有关圆面积的求法 例1、学校有一块圆形草坪，它的直径是30米，这块草坪的面积是多少平方米？如果沿着草坪的周围每隔1．57米摆一盆菊花，要准备多少盆菊花？

变式训练

（1）一个圆形花坛的直径是10米，在它的四周铺一条2米宽的小路，这条小路面积是多少平方米？

（2）一个圆形环岛的直径是50米，中间是一个直径为10米的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？

例2、一个圆形花坛的直径是10厘米，在它的四周铺一条2米宽的小路，这条小路面积是多少平方米？

变式训练

（1）学校有一块直径是40M的圆形空地,计划在正中央修一个圆形花坛,剩下部分铺一条宽6米的水泥路面,水泥路面的面积是多少平方米?

（2）公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10米,它能喷灌多大的范围?

例3、一个圆和一个扇形的半径相等，圆面积是30平方厘米，扇形的圆心角是36度。求扇3

形的面积。

变式训练

一个圆和一个扇形的半径相等，圆面积是30平方厘米，扇形的圆心角是36度。求扇形的面积。

（知识点二）有关圆周长的求法

例4、前轮在720米的距离里比后轮多转40周，如果后轮的周长是2米，求前轮的周长。

变式训练

（1）一辆自行车车轮外直径70厘米，如果平均每分钟车轮转100周，从A到B大约需要25分钟。A到B大约多少千米？

（2）有一个圆环，内圆的周长是31.4厘米，外圆的周长是62.8厘米，圆环的宽是多少厘米？

例5、一个圆形牛栏的半径是15厘米，要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈？（接头处忽略不计。）如果每隔2米装一根木桩，大要装多少根木桩？

变式训练

（1）一只大钟的时针长0.3米,这根时针的尖端1天走过多少米?扫过的面积是多少平方米？

（2）一块圆形菜地，直径20米，现在要在菜地上覆盖一层塑料薄膜，至少需要薄膜多少平方米？如果每平方米薄膜价格0.5元，这些薄膜要花多少元？

（知识点三）半径r2替代法

题的特点：一般将正方形，三角形和圆放到一起，一般已知条件是正方形或三角形面积，求圆的面积。

，解法：一般设法求出r，或者求出r2

★注意：园内直角三角形一般为等腰直角三角形，两腰等长，斜边是斜边上高的2倍。 4

例1：已知下图阴影部分面积为8平方米，求圆的面积：

解：由已知条件可得r2 =8，

因此，圆的面积为：?r?3.14?8

例2：ABCD为正方形，已知AC长6m，求阴影部分面积：

解：△ACD为等腰直角三角形，则S△ACD=6*3/2=9㎡

AD=DC=r

AD*DC/2=9

因此，r2 =18, 扇形DAC的面积为：?r/4?3.14?18/4

因此，阴影部分面积为：18-?r/4?3.14?18/4

例3：求圆与圆内最大正方形的面积比值。

解：△ABC为等腰直角三角形，则S△ABC=2r?r/2?r

正方形的面积是两个三角形面积和，为：2r

2 圆的面积为：?r，则圆与圆内最大正方形的比为：?/2 22222

变式训练

1、已知下图阴影部分面积为5平方米，求圆的面积：

2:、在右图扇形中，正方形面积为30平方米，求阴影部分面积：

3：求正方形与正方形内最大圆的面积比值。

（知识点四）图像平移填补法

题的特点：一般圆内由多个阴影部分面积构成，阴影由弧线和弧线构成，或者由弧线和直线构成。

解法：注意观察面积相同的部分，将相同的部分移动替换，

，若遇到轴对称图形可尝试旋转图形，记住常见的面积平移图例。

例1：求阴影部分的面积：

解：正方形外三角形底为6，和正方形内三角形底相同，

由于顶角相同，所以两个三角形可以互换。

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