易拉罐建模

上传者：刘沁
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上传时间：2015-05-06
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易拉罐建模

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘要

我们都见过日常身活中的罐装可乐,他们的形状大小都是差不多,大部分都是355ml,为什么要设计成这个差不多样子,这不是偶然,商家要获取利益,是不是这样设计能够节省成本,所以应该是一种最有设计,之后通过数学建模去探究问题,易拉罐形状和尺寸的最优设计.

关键词最优设计材料减少 lingo

第一问: 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

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第二问:设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

1 问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

为了实现可持续的经济发展，解决能源危机和人类正常发展，我们要提升利用资源的效率，合理的、科学的对我们现有的资源进行生产配置，实现资源的最优化利用.

所以思路是一个饮料量为355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆柱体，在不考虑易拉罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径r与高度h的比值。

2 问题分析

假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。在表面积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。

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3 模型假设

假设

（1）假设易拉罐是正圆柱体

(2）假设易拉罐整体厚度均相同

4 符号说明

R 易拉罐内半径为

VH 高为H? ?R2

a 厚度

V 体积为

r和h是自变量

S所用材料的面积是因变量 S?2??R?a??a???R?a??H??R2H ?2?aR2?4?a2R?2?a3?2?HRa??Ha3 V是固定参数 V??R2H

5模型的建立与求解

（S是目标函数minS?r,h ?R?0,H?0）

约束条件g?R,H??0

V是已知的，即要在体积一定的条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少

因为按照实际测量数据可知ar，所以带a2，a3的项可以忽略，且H?

2aV RV，2?R则有 S?R,H?R???2?aR2?

求S?r,h?r??的最小值，令其导数为零，即S??R,H?R???0，解得临界点为

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，则H?V?2?22R 因为S???R??4a??

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优解

4aV??S?12a??0，所以当R:H=1:2时，是S最，则3R

第三问:设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

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什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

1问题重述

通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。

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图1

2 问题分析

假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a，其余部分为b，且a:b=3：1，体积V=355ml时，同样利用lingo软件，计算出模型的最优解。

3模型假设

假设（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体

假设（2）易拉罐整体厚度均相同

4 符号说明

R易拉罐顶盖、底部半径，

H正圆柱体高为

h正圆台高为

V体积为

其中R,r,H,h是自变量

所用材料的体积S是因变量:S???R2?r2??2?RH???

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R?r 1而V是固定参数：V??R2H???R2?Rr?r2?h 3