2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案

2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

2a3?6a2?a1?（ ） 1

．已知a?，则2a2?12

A

． B

C

．2 D

2

【答案】 A

【解答】

由a?

1，知2a

1，2a?1，4a2?4a?1?3，2a2?1?2a。 2

2a3?6a2?a2a3?6a2?a11?2a12???a?3a????3a?∴ 2a2?1?

2a222

??2a?1??1)?1?。

2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）

A．1232 B． C． D． 55515

【答案】 B

【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之

2)，(3，4)，(5，6)；(1，2)，(3，5)，(4，6)；(1，2)，(3，6)，(4，5)； 间不考虑顺序）：(1，

(1，3)，(2，4)，(5，6)；(1，3)，(2，5)，(4，6)；(1，3)，(2，6)，(4，5)；

(1，4)，(2，3)，(5，6)；(1，4)，(2，5)，(3，6)；(1，4)，(2，6)，(3，5)；

(1，5)，(2，3)，(4，6)；(1，5)，(2，4)，(3，6)；(1，5)，(2，6)，(3，4)；

(1，6)，(2，3)，(4，5)；(1，6)，(2，4)，(3，5)；(1，6)，(2，5)，(3，4)。

其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。

∴ 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为31?。 155

3．已知圆O

是边长为的正三角形ABC的内切圆，圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切，则圆O1的面积为（ ）

A．? B．2? C．3? D．4?

【答案】 A

1

【解答】 如图，设圆O切CB边于D，圆O1切CB边于E，且圆O的半径为R，圆O1的半径为r。

由△

ABC是边长为的正三角形，知

21OC???

6，R?OD???3， 3232

∵ 圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切，

∴ O、O1、C三点共线，?OCD?30?，OC ?2O1E?2r。1

∴ OC?OO1?OC?R?r?2r?3?3r?6，r?1。 1

∴ 圆O1的面积为??12??。

分别为D、E、F。已知AB?AC?10，BC?12，且

PD∶P∶EPDCE的面积为（ ） ?P1∶∶F3。则四边形3（第3题答题图） 4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足

A．10 B．15 C．

【答案】 C 4050 D． 33

【解答】如图，连结PA，PB，PC。 1易知S△ABC??12?8?48。又 2

S△ABC?S△PBC?S△PCA?S△PAB?111BC?PD?CA?PE?AB?PF 222（第4题 图）

?6PD?5PE?5PF?48，PD∶PE∶PF?1∶∶33。

∴ PD?4，PE?PF?4。 3

（第4题答题图） 由PE?PF，知点P在?BAC的平分线上，A、P、D三点共线。

4196∴ PC2?PD2

?DC2

，EC2?PC2?PE2?PD2?DC2?PE2?()2?62?42?。 39

∴ EC?

∴ S14。 3四边形PDCE?S△PDC?S△PEC?111411440PD?DC?PE?EC???6??4??。 2223233

5．记S(n)为非负整数n的各个数位上的数字之和，如S(0)?0，S(1)?1，S(1995)?1?9?9?5?24。则S(1)?S(2)?S(3)?L?S(2015)?（ ）

A．28097 B．28098 C．28077 D．28087

【答案】 B

2

【解答】设S?S(0)?S(1)?S(2)?L?S(1999)。

则2S?(1?9?9?9)?2000，S?28000。

又S(2000)?S(2001)?S(2002)?L?S(2009)?2?10?(0?1?2?L?9)?65， S(2010)?S(2011)?S(2012)?S(2013)?S(2014)?S(2015)?3?4?5?6?7?8?33， ∴ S(1)?S(2)?S(3)?L?S(2015)?28000?65?33?28098。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．已知直线y?2x?3与抛物线y?2x2?3x?1交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则11?? x1?1x2?1

【答案】 9 5

?y?2x?322x?5x?2?0。 …………… ① 【解答】由?，得2?y?2x?3x?1

依题意，x1，x2为方程①的两根，x1?x2?5，x1x2??1。 2

∴ (x?1)?x(1?11??2

x1?1x2?1x(1?1x)(?25?21)x1?(x1?)29???。 1)xx1?2x?(x151?2)?1??12

7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、

CD上，且?EAF?45?。则△CEF的周长为

【答案】 2

【解答】如图，在CD的延长线上取点G，使得DG?BE，连结GA。

则由ABCD为正方形，易得△ABE≌△ADG。

GAE?AG。 ∴ ?BAE??DA，

∵ ?EAF?45?，

∴ ?GAF??GAD??DAF??BAE??DAF

?90???EAF?45???EAF。

?EAF??GAF，AF?AF。于是，在△EAF与△GAF中，AE?AG， （第7题 图）

∴ △EAF≌△GAF，EF?GF。△CEF的周长

l?EC?EF?FC?1?BE?GF?FC?1?GD?GD?DF?FC?2。 （第7题答题图）

8．若1?x?3时，二次函数y?2x2?3ax?4的最小值为?23，则

a?

【答案】

5

3

39【解答】∵ y?2x2?3ax?4?2(x?a)2?a2?4，1?x?3， 48

34∴ 若a?1，即a?时，则当x?1时，y取最小值6?3a。 43

由6?3a??23知，a?

若1?294?，不符合要求。 3333499a?3，??23知，即?a?4时，则当x?a时，y取最小值?a2?4。由?a2?444388a2?

24，得a??，均不符合要求。 3若a?3，即a?4时，则当x?3时，y取最小值22?9a。由22?9a??23知，a?5，4

符合要求。

∴ a?5。

q)的个数是 9．已知正整数p，q

?(p，

【答案】 3

【解答】

p?2016?9q。 由p，q

?

∴ p?14x2（其中x为正整数）。同理，q?14y2（y为正整数）。 于是，x?3y?12（x，y为正整数）。

?x?9?x?6?x?3∴ ?，?，?。

?y?1?y?2?y?3

q)?(14?81，14?1)，或(14?36，14?4)，或(14?9，14?9)。 ∴ 满足条件的整数对(p，

q)的个数为3。 ∴ 满足条件的整数对(p，

??x???2x???x2?，???10．?x?表示不超过x的最大整数，则满足条件?的x的取值范围5?x??2

为 【答案】0?x?

15?x? 22

2?x【解答】（1）当x?0时，?x???1，?2x???1，????0。

2?x∴ x?0时，方程?x???2x?????无解。

4

（2）当0?x?

（3）当122???x?0x?2x?x时，?x???2x??0，?，等式????????成立。 21?x?1时，?x???2x??1，?x2??0，等式?x???2x???x2?????不成立。 2

3922???x?1x?2。 时，?x???2x??3。1?x2?，?或????24（4）当1?x?

2?x等式?x???2x?????不成立。

（5）当3922???x?2x?x?2时，?x???2x??4。?x2?4，?或?????3。 24

2?x等式?x???2x?????不成立。

（6）当2?x?552?x?6?x?时，?x???2x??6，由?。 ?x?

??

22

15?x?。 22综合得，满足条件的x的取值范围为0?x?

5