2014年浙江省数学竞赛试题

2014年浙江省高中数学竞赛试题解答

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1. 已知集合=P{1,|=a|},Q{2,b2}为全集=U{1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P?Q}={6}， 则下面结论正确的是（ ）.

(A)= a3,=b1 (B) a=3,b=?1 (C)a=?3,b=1 (D) a=?3,b=?1 １．答案Ｄ　　

解　由CU{P?Q6,显然只有答案Ｄ符合。　=}{6}?a2+b2+a+b=

2. 已知复数z1,z

2,且z1=2z2=2,z1+z2=(A)

(B) (C) 3

(D) ，则z1?z2的值为（ ）

答案　Ｄ　

解答　因为　z1?z2。　

3. 已知∠A,∠B,∠C为?ABC的三个内角，命题P：∠A=∠B；命题Q：sin∠A=sin∠B，则¬P是¬Q 的（ ）.

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 ３．　答案Ｃ　解　在?ABC中∠A≠∠B?sin∠A≠sin∠B。

4. 已知等比数列{an}：=a15,=a4625，则∑k=120141= （ ）. log5aklog5ak+1

2014201320122013 (B) (C) (D) 2015201440284030４．答案　　Ａ　 (A)

解　设等比数列的公比为q,则　

2014112014。　625=5q?q=5?∑∑loglog(1)2015+aakk=k1=k15k5k+132014

5. 已知圆(x+2)2+(y?1)2=1与圆x2+(y+1)2=1关于直线l对称，则l 的方程为（ ）.

(A) x+y+1=0 (B) x?y+1=0

(C) x?y?1=0 (D) x+y?1=0

５．　答案　Ｂ　

解　直线l即为两圆心（－２，１）、（０，－１）的垂直平分线，即为x?y+1=0。　

6. 若某立体的三视图如下，则该立体的体积为 （ ）

1 1

2

正视图

侧视图

2

俯视图

(A) 1 (B) 2

(C) (D)

６．答案Ｂ　　解答　还原该几何体，是一个长、宽、高分别为２、２、１的长方体，并被截去两个底面直三棱柱，该三棱柱的底面是边长为１等腰直角三角形，高为１。　

17. 若x∈R+，则(x3+1?4)9展开式中常数项为 ( ). x

(A) ?1259 (B) ?1260 (C) ?1511 (D) ?1512 ７．　答案Ａ　

该展开式常数项有两项，其一是所有的乘积项都取１，或４个乘积项取x3，３个乘积项取?2 314343?131C(x)C5(4)C2+1=?1259。，２个乘积项取常数１，所以常数项为　94xx

8.设[x]表示不超过x的最大整数，则方程3x2?10[x]+3=0的所有实数根的个数为（ ）.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

８．答案

Ｄ　

解　由3x2?10[x]+3=0?10(x?1)<10[x]=3x2+3≤10x?

当

1

≤x≤3　3

1

≤x<1时，方程3x2?10[x]+3=0无解。　3

当1≤x<2时，方程3x2?10[x]+3=

0的解为x=当2≤x<3时，方程3x2?10[x]+3=

0的解为x=当x=3时，符合满足方程3x2?10[x]+3=0。　

且maxmin{2x+4,ax2+b,5?3x}=则a+b的值为（ ）. 9. 若a∈R+,b∈R，2，

x∈?

(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3

９．　答案Ｃ　

解：直线y=、（１，２），且这两点关于y轴对称，所以，2x+4,y=5?3x分别经过（?1,2）当b=0时，抛物线y=ax2过（?1,2）（１，２）、两点，得a=2；当b≠0时，抛物线=yax2+b过（?1,2）、（１，２）两点，所以a(?1)2+b=2。　2。总之a+b=

10. 已知函数=f(x)cos(asinx)?sin(bcosx)无零点，则a2+b2的取值范围为 （ ） (A) [0,

π4

(B) [0,

π22

(C) [0,

π24

) (D) [0,

π2

)

１０．　答案Ｃ　

解　由已知得2kπ+bcosx?asinx,(2k+1)π?bcosx?asinx(k∈Z)无解。　

22

x+?)=

ππ

π

2

+

2kπ,　或　

2x??)=

π

2

?(2k+1)π(sin??无解　

<

π

2

+2kπ或(

π

2

?(2k+1)π)?a+b取值范围为[0,

2

π24

)。　

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）

11. 设实数x,y满足方程(x+2)2+y2=1，则y

的最大值为__________

。 x

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解　y的最大值，即为过原点向圆(x+2)2+y2=

1引切线，斜线斜率最大，即为x

。　????????????12.若平面上四点A，B，C，D，满足任意三点不共线，且4AC+2AB=AD，则

S?ABD。 S?ABC

１２．　答案４　解　由向量加法的平行四边形法则可知S?ABD=4。　S?ABC

13. 如图，ABCD?A1B1C1D1为正四棱柱。已知AB1与底面A1B1C1D1所成角的正切值为a，则二面角A?B1D1?A1的正切值为_____________。

解　设正四棱柱的底面边长和高分别为x,y，　则y=a,设底面对角线的交点为O，则二面角A?B1D1?A1的平面角为∠AOA1，

x

=。　所以tan∠AOA1=

14. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，有f(x+2)=f(x)+2，则2014

k=1∑f(k)

１４．　答案２０２９１０５　

解　由f(x+2)=f(x)+2，令x=?1,f(1)=f(?1)+2?f(1)=1,显然f(0)=0。　又f=(2n)f(0)∑(f(2k)?f(2k?2))+=

k=1

nn2n,　

f(2n?1)=

2014∑(f(2k?1)?f(2k?3))+f(1)=k=220142n?1,　

=k1=k1所以∑f=(k)=k∑２０２９１０５。　

15. 设P是椭圆 2x2+3y2=1上的一点，F1,F2是该椭圆的两个焦点，且

∠F1PF2，则?F1PF2的面积为_______________。

6

１５．　答案π解　设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为a,b

，则　

a=b=?c=?F1F21+PF12在三角形PF1F

2中应用余弦定理　

2=PF12+PF12?2PF1PF12cos2π

6?

PF1PF12=，　=

所以S?FPF12π1PF1PFsin　12263116. 设f(x)是定义在R上的函数，满足|f(x)+cos2x|≤,|f(x)?sin2x|≤， 44

则函数f(x)=_______________。 11１６．　答案sin2x?,或写成(1?2cos2x)。　44

13+=1,所以得到　44

1131sin2x?,或写成(1?2cos2x)。　|f(x)+cos2x|,|f(x)?sin2x|?f(x)=4444

17. 有一快递公司承担某地区13个城市之间的快递业务，如果每个快递员最多只能承接4个城市之间的快递业务,要使每两个城市之间至少有1名快递员，那么此快递公司最少需要（ ）名快递员？

答案　１３。　　

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分） 解　1=sin2x+cos2x≤|f(x)+cos2x|+|f(x)?sin2x|≤

18. 已知b,c∈R,二次函数f(x)=x2+bx+c在（0,1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+(1+b)c的取值范围。

解法１　令r,s为二次函数的两个零点，则f(x)=(x?r)(x?s)。…………（５）　从而c=f(0)=rs;1+b+c=f(1)=(1?r)(1?s)(r,s∈(0,1)),……………………（10）