2008年中考数学方案设计型试题专题解析

2008年中考数学方案设计型试题专题解析

【方案设计型试题的特点】

方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，运用数学知识设计恰当的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式。方案设计型试题是近几年中考的热点问题之一，它贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时，要注意先思考，后动手，防止盲目尝试，问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况。方案设计型问题能培养学生的自信心、科学精神、创造意识和实践能力，可以改变以往单纯的依赖模仿与记忆的学习方式，有利于形成“动手实践、自主探索与合作交流”的新的学习方法。

【方案设计型试题解题策略】

方案设计型试题不仅要求学生有扎实的数学基础知识，而且能够把实际问题转化、抽象成具体的数学问题；它综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结． 具体解法可灵活选择建立方程模型，不等式模型，函数模型，几何模型，统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策。

【方案设计型试题归类探究】

一、利用不等式进行方案设计

不等式（组）方案设计应用题，涉及知识面广，综合性强，所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能性；涉及我们日常生活的广告宣传，经济决策，文化娱乐，商品买卖，物贸分配等多个方面，解题关键是建立不等式模型，同时注意运用方程，代数等方面的知识.

1、（2008·青岛）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票不超过5000元的情况下，购买A、B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：

（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；

（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？

1

15?x?,?x?解：设 A种票x张，则B种票（15-x）张.根据题意得：? 2?.?600x?120(15?x)?5000

解得5≤x≤20 3

∴满足条件的x为5或6.

∴共有两种购买方案：

方案一：A种票5张，B种票10张，

方案二：A种票6张，B种票9张。

（2）方案一购票费用：600×5+120×10=4200（元）

方案二购票费用：600×6+120×9=4680（元），

∵4200<4680，∴方案一更省钱.

2．（2008·怀化）5·12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．

解：(1)因为租用甲种汽车为x辆，则租用乙种汽车?8?x?辆．

??4x?2?8?x?≥30,由题意，得? 3x?88?x≥20.????

44解之，得7?x?. 5 即共有两种租车方案：

第一种是租用甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；

第二种是全部租用甲种汽车8辆

（2）第一种租车方案的费用为7?8000?1?6000?62000元

第二种租车方案的费用为8?8000?64000元

所以第一种租车方案最省钱

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3、（2008·扬州）某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住.

（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；

（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？ （解略）

二、利用函数进行方案设计

此类问题的一般步骤：（1）根据题意建立一次函数关系式；（2）根据实际意义建立不等式组，求不等式组的正整数解；（3）根据求到的解，利用一次函数的性质求最大最小值。

1、（2008·连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的

1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．

（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？

（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于两市通住A，B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：

请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数． 解：（1）设总厂原来每周制作帐篷x千顶，分厂原来每周制作帐篷y千顶．

?x?y?9，由题意，得? 1.6x?1.5y?14．?

3

?x?5，解得?所以1.6x?8（千顶），1.5y?6（千顶）．

?y?4．

答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶．

（2）设从（甲市）总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地，则总厂调配到灾区B地的帐篷为

（乙市）分厂调配到灾区A，B两地的帐篷分别为(9?m)，(8?m)千顶，(m?3)千顶．

甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆．

由题意，得n?4m?7(8?m)?3(9?m)?5(m?3)(3≤m≤8)．

即n??m?68(3≤m≤8)．

因为?1?0，所以n随m的增大而减小．

所以，当m?8时，n有最小值60．

答：从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆。

2、（2008·双柏）我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运，A、B、C、三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和.

（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x的函数关系并写出自变量取值范围.

（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案.

解： （1）由题得到：2.2x+2.1y+2(30-x-y)=64.

所以，y=-2x+40.

又x≥4，y≥4,30-x-y≥4,得到14≤x≤18.

（2）Q=6x+8y+5(30-x-y)=x+3y+150=-5x+270.

Q随着x的减小而增大，又14≤x≤18，所以当x=14时，Q取得最大值。

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即Q=-5x+270=200（百元）=2万元 因此，当x=14,y=-2x+40=12，30-x-y=4.

所以，应这样安排：A种水果用14辆车，B种水果用12辆车，C种水果用4辆车。

3、（2008·徐州）为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2007年11月17

设行驶路程xkm时，调价前的运价y1（元），调价后的运价为y2表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：

①填空：a=______,b=______,c=_______.

②写出当x＞3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象.

③函数y1与y2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由.

解：(1) a=7, b=1.4, c=2.1 （2）y1?2.1x?0.3 （3）有交点为(

三、利用几何作图进行方案设计

利用几何作图进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练的运用几何的有关性质，并注意充分发挥分类讨论，类比归纳，猜想验证等数学思想方法进行解题.

1、（2008·莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是

ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出人口，要求分

313131

,9)其意义为当x?时是方案调价前合算，当x?时方案调价后合算. 777

别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案：

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