高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

1答案 A

解析 由sin C＝23sin B，根据正弦定理，得

c＝3b，把它代入a2－b23bc得

a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.

b2＋c2－a2b2＋12b2－7b2

由余弦定理，得cos A＝＝2bc2b3b

6b232243b

又∵0°<A<180°，∴A＝30°.

2答案 D

113解析 S△ABC＝²AB²sin 60°＝AB³3，∴222

AB＝55.

122222∴BC＝AB＋AC－2AB²ACcos 60°＝55＋16－2³16³55³＝2

2 401.

∴BC＝49.

3【解析】选C.由题意得

所以

=25=32.

4【解析】选C.a8²a15＝a10²a13＝a11a12＝±2，由{an}为递减数列，

舍去－2．

5【解析】选A. 因为

所以数列{

所以S12?=1， 1?12Sn}是公差为2

，首项为1

的等差数列， n?1Sn=1+2(n－1)=2n－1， n?1

高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

所以Sn=(2n－1)(n+1)，

所以a10=S10－S9=11³19－10³17=39.

6【解析】选B.根据定义得：x☆(x－2)=x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，

所以实数x的取值范围为(－2，1)，故选B．

7【解析】选C.因为

，当且仅当a=b时取等号，所以

．

sinx＋a8[解析] 令t＝sinx，t∈(0,1]，则函数f(x)＝x<π)sinx

aa的值域为函数y＝1＋t∈(0,1]的值域．又a>0，所以y＝1＋，ttt

∈(0,1]是一个减函数，故选B.[答案] B

9[解析] 依题意得点M、N的坐标分别为(a，sina)，(a，cosa)，

22∴|MN|＝|sina－cosa|＝|2(sinacosa22

π＝|2sin(a－2(a∈R)．∴|MN|max＝2.[答案] B 4

π10[解析] 终边在y轴上的角的集合为{β|β＝kπ＋k∈Z}，故2

11l4①不正确；由S＝lR，得4＝R，R＝2，所以α＝＝2，22R2

故②正确；y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，所以周期为π，故③不正确；④正确：y＝tan(－x－

π

)

＝

高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

π－tanx在[－π，－上不可能是增函数，故⑤不正确．[答案] ②2

④

11解析 因为三角形有两解，所以asin B<b<a， 2即<2<x，∴2<x<22. 2

12【解析】如图所示,

设水流速和船速的合速度为v,

在△OAB中,OB2=OA2+AB2-2²OA²AB²cos60°,

所以OB=v=2 km/h.

即船的实际速度为v=2 km/h,则经过 h,其路程为2 ³ =6(km).

答案:6km

13【解析】由题意，n h后有2n人得知，

此时得知信息的总人数为1+2+22+?+2n=2n+1-1≥55，

即2n+1≥56，所以n+1≥6，所以n≥5．答案：5

14【解析】因为S4=

a2=a1q=2a1,所以

答案：15 2

x?y2)(

当且仅当x=y时取等2a1?1?q4?1?q?a1?1?24?1?2=15a1, S415a115??. a22a1215【解析】原式等价于x+y+3=xy≤(

高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

x?y??号)，所以x+y+3≤， 42

即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.解得x＋y≥6或x＋y≤-2(舍去). 所以x＋y的取值范围是［6，＋∞)．答案：［6，＋∞)

T2πππ16[解] (1)由图可得A＝1，＝T＝π.所以ω2362

πππ＝2.当x＝时，f(x)＝1，可得sin(2³φ)＝1.因为|φ|<662

ππ所以φ＝.所以f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋． 66

π(2)g(x)＝f(x)－cos2x＝sin(2x)－cos2x 6

ππ31＝sin2xcos＋cos2xsin－cos2x＝sin2x－cos2x＝6622

ππππ5πsin(2x－)．因为0≤x≤≤2x－≤62666

πππ当2x－＝，即x＝时，g(x)有最大值，最大值为1； 623

ππ1当2x－＝－，即x＝0时，g(x)有最小值，最小值为－662

17【解析】(1)当n＝1时，a12＝4S1－2a1－1，

即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.

当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，

解得a2＝3或a2＝－1(舍去).

(2)an2＝4Sn－2an－1，①

an+12＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

②－①得：an+12－an2＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，

高一下学期学科能力竞赛数学试卷答案

即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an).

因为数列{an}各项均为正数，所以an＋1＋an>0，an＋1－an＝2， 所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列.

所以an＝2n－1.

18【解析】(1)g(x)＝2x2－4x－16，

所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－2<x<4，

所以不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．

(2)因为f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，

f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，

所以x2－2x－8 ≥(m＋2)x－m－15，

即x2－4x＋7≥m(x－1)．

所以对一切x>2，均有不等式≥m成立.而

＝2(当

x=3时等号成立)．

所以实数m的取值范围是(－∞，2］．

19【解析】设使用x年的年平均费用为y万元.由已知，得 0.2x2?0.2x10?0.9x?10xy=，即y=1+?(x∈N*). x10x

由基本不等式知y≥

1+当且仅当， 10x?，即x=10时“=”成立. x10

因此使用10

年报废最合算，年平均费用为

3万元．