一个几何概型问题的建模及其计算机模拟试验_马镛

５８

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

一个几何概型问题的建模

及其计算机模拟试验

马　镛　季　婕　安杰晶

（）河海大学港口航道与海岸工程学院，２１００９８

　　在几何概型中经常会遇到一些抽象或复杂的

问题，通过用实数坐标表示并与基本事件建立一一对应的关系，在坐标系中表示样本空间，用坐标参量表示随机事件发生的等价条件并在同一坐标从而利用构造出的几系下用图形表示随机事件，

何量度和几何概型公式求解．利用这种坐标参量还可方便地编写程序利用计算机模拟随机试验．

１］

例１［在半径为１的圆周上任取两点，连成

（）为基准，按逆时针方向，任意一点记为Ｐ，可１，０

由圆心角∠Ｐ其中ＯＡ唯一确定点Ｐ的位置，圆弧上的点与［ＯＡ的取值区间为［０，２．０，∠Ｐπ））内的实数一一对应．设任意点Ｐ对应圆心角２π

任意点Ｑ对应圆心角θ长为对应的θ１，２．圆心角大小为，则弦长ＰＱ≥３圆心角应满足≥．任意点Ｐ和Ｑ连成的弦长

３ＰＱ≥≤｜π－；θθ｜≤２１－２

３３

“任取圆弧上两点”的情况可用有序实数对

一条弦，问弦长不小于内接正三角形的边长的概率是多少．

分析：

方法一　目前一种常见的思考方法如下．先

任取Ｐ点，后取Ｑ点，如图１所示，当且仅当Ｑ点取在弧Ｑ１Ｑ２上时才满足弦长Ｐ则事件Ｑ≥“弦长≥的概率为；当Ｐ取圆弧上任意一点３那么“时，弦长不小于内接ＰＱ≥，３正三角形边长”的概率为

．

３

（）

（一一对应地表示，其中θ随０，２．θθθπ）１，２）１，２∈［机取两点Ｐ、且每种组合的Ｑ的组合有无穷多个，出现是等可能的，符合几何概率模型．

（样本空间Ｓ＝｛

０≤２０≤２．θθ｜θπ，θπ｝１，２）１＜２＜

图１图２

图３

方法二　在半径为１的圆周上任意取点，点的位置可由一个坐标唯一确定．如图２所示，

以圆心Ｏ为坐标原点建立坐标系，以点Ａ

记随机事件“任取的两点连成弦，其长度不为Ｍ，则Ｍ＝小于圆弧内接正三角形边长”

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报，，（０２０２≤｜θθ｜≤≤θπ≤θπθθ１－２１＜２＜１，２３３

以θ绘出图形如图３所θ１为横坐标，２为纵坐标，

５９

续表

４　５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　１７　１８　１９　

１０００　２０００　５０００　１００００　２００００　５００００　１０００００　２０００００　５０００００　１００００００　２００００００　５００００００　１０００００００　２０００００００　５０００００００　１００００００００　

０．３４４０．３３３０．３３８６０．３２３

７０．３３９５０．３３３３４０．３３３５９０．３３３６８５０．３３３６１４０．３３３３５３０．３３３３７２５０．３３３３５０６０．３３３３３２６０．３３３３３４６０．３３３３２７７０．３３３３３３８

｛｝

示，图形面积即为我们构造出的几何量度．

Ｓ阴影面积则事件Ｍ的概率为Ｐ（Ｍ）＝＝．

３Ｓ总面积

利用坐标参量θ１和θ２可以方便地编写一个

程序进行计算机模拟试验，选用高中选修的Ｖｉｓ－编写代码如下：ｕａｌＢａｓｉｃ６．０，　

ＯｔｉｏｎＥｘｌｉｃｉｔ　ｐｐ

＿（）ＳｕｂＣｏｍｍａｎｄ１ＣｌｉｃｋＰｒｉｖａｔｅ　　

，，ＤｉｍｎＡｓＬｏｎｉＡｓＬｏｎＡｓＬｏｎｓ　　　　　　　ｇｇｇｊ，，Ｃ１ＡｓｓｉｎｌｅＣ２ＡｓｓｉｎｌｅＡｓｓｉｎＤｉｍｉ　　　　　－ｇｇｐ

，ｌｅＡｓｓｉｎｌｅ　ｇｐｇ　

ｉ＝３．１４１５９２６ｐ

‘通过文本框输入随机试验ｎ＝Ｔｅｘｔ１．Ｔｅｘｔ次数ｎ

Ｒａｎｄｏｍｉｚｅｉ＝１ＴｏｎＦｏｒ　　

１＝Ｒｎｄ＊２＊ｐｉ　　Ｃ

‘产生两个０～２２＝Ｒｎｄ＊２＊ｐｉ　　Ｃπ范围内的随机实数

（）（）（Ｉｆ（ＣｏｓＣ１－ＣｏｓＣ２）ＣｏｓＣ１）－　　＊（

（））ＣｏｓＣ２）＋（ＳｉｎＣ１）－Ｓｉｎ（Ｃ２）Ｓｉｎ（Ｃ１）－＊（（））ＳｉｎＣ２ｈｅｎ＞３Ｔ‘计算弦长的平方，运行时该句不换行

满足弦长的平方大于ｓ＝ｊｓ＋１‘　　　　ｊ３则计数变量加１

ｎｄＩｆ　　Ｅ　

Ｎｅｘｔｉ　

‘计算频率ｓ／ｎｐ＝ｊ

Ｌｉｓｔ１．ＡｄｄＩｔｅｍ＂ｎ＝＂＆ｎ　＆＂　ｐ＝＂＆ｐ＂ｎ＝＂＆ｎ＆；＂　ｐ＝＂＆ｐＤｅｂｕ．ＰｒｉｎｔｇＥｎｄＳｕｂ　

＿（）ＰｒｉｖａｔｅＳｕｂＣｏｍｍａｎｄ２Ｃｌｉｃｋ　　ＥｎｄＥｎｄＳｕｂ　

试验结果列表如下：

试验序号

１　２　３　

试验次数ｎ１００　２００　５００　

频率ｐ０．２９０．３８５０．３６６

由以上试验结果可以看出，随着试验次数的频率无限趋近于，与理论解一致．增加，

３

例２　在半径为１圆周上任取三个点，两两连线所围成的图形是钝角三角形的概率是多少？

分析：在半径为１的圆周上任意取点，点的位置可由一个坐标唯一确定．

如图４所示，以圆心Ｏ为坐标原点建立坐标系，以点Ａ（为基１，０）

图４准，按逆时针方

记∠Ｐ其中向，ＯＡ＝ＯＡ＝Ａ＝θ∠Ｑθ∠ＭＯθ１，２，３，

）圆弧上的点与［０，２．０，θθθπ１、２、３的取值区间为［）内的实数一一对应．２π

“Ｐ、Ｑ、Ｍ两两连线所围成的图形是钝角三角形”

－π＜－π＜｛θθπ，θθπ，１－２＜１－３＜－π＜θθπ，θθθ２－３＜１≠２≠３｝“在圆周上任取三点”的情况可用有序实数组

６０

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

内的三个随机实数

（）＜ｐ（ｉＩｆＡｂｓＣ１－Ｃ２ＡｎｄＡｂｓＣ１－　　　　　

）＞０Ａ（）＜ｐ（Ｃ２ｎｄＡｂｓＣ２－Ｃ３ＡｎｄＡｂｓＣ２ｉ　　　）＞０Ａ（）＜ｐｉ－Ｃ３ｎｄＡｂｓＣ３－Ｃ１ＡｎｄＡｂｓ　　　（）＞０ＴＣ３－Ｃ１ｈｅｎ

满足条件则计数变量ｓ＝ｊｓ＋１‘　　　　ｊ加１

ｎｄＩｆ　　Ｅ　

Ｎｅｘｔｉ　

‘计算频率ｓ／ｎｐ＝ｊ

Ｌｉｓｔ１．ＡｄｄＩｔｅｍ＂ｎ＝＂＆ｎ　＆＂　ｐ＝＂＆ｐ＂ｎ＝＂＆ｎ＆；＂　ｐ＝＂＆ｐＤｅｂｕ．ＰｒｉｎｔｇＥｎｄＳｕｂ　

＿（）ＰｒｉｖａｔｅＳｕｂＣｏｍｍａｎｄ２Ｃｌｉｃｋ　　ＥｎｄＥｎｄＳｕｂ　

试验结果列表如下：

序号

１　２　３　４　

图５

５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　１７　１８　１９　２０　

次数Ｎ１００　２００　５００　１０００　２０００　５０００　１００００　２００００　５００００　１０００００　２０００００　５０００００　１００００００　２００００００　５００００００　１０００００００　２０００００００　５０００００００　１００００００００　２００００００００　

０．５２０．４５５０．５１６０．５１３０．５１３０．５０２２０．４９７７０．５０５４０．４９４８４０．４９９２０．５００１４５０．４９９５２４０．５０００６７０．４９９３８０．４９９７６０４０．４９９９８３２０．５００００７９０．４９９９９１８０．５００００２３０．５００００６３

频率Ｐ

（一一对应地表示，其中θ０，θθθθθ１，２，３）１，２，３∈［

）随机取三点Ｐ、且２．Ｑ、Ｍ的组合有无穷多个，π

每种组合的出现是等可能的，符合几何概率模型．

（样本空间Ｓ＝｛０≤２θθθ｜θπ，１，２，３）１＜

０≤２０≤２θπ，θπ｝２＜３＜记随机事件“Ｐ、Ｑ、Ｍ两两连线所围成的图（形是钝角三角形”为Ｅ，则Ｅ＝｛０＜｜θθθ｜θ１，２，３）１且－０＜｜０＜｜θ｜≤π，θθ｜≤π，θθ｜≤π，２１－３２－３）｝０，２．θθθπ１，２，３∈［以θ绘θθ１为横坐标，２为纵坐标，３为竖坐标，体积即为构造出的几何量度

．图５如下，

Ｓ阴影体积则事件Ｅ的概率为Ｐ（Ｅ）＝＝

Ｓ总体积２利用坐标参量θθ１、２和θ３可以编写一个程序

进行计算机模拟试验，同样以ＶｉｓｕａｌＢａｓｉｃ６．０为　例，编写代码如下：

ＯｔｉｏｎＥｘｌｉｃｉｔ　ｐｐ

＿（）ＰｒｉｖａｔｅＳｕｂＣｏｍｍａｎｄ１Ｃｌｉｃｋ　　

，，ＤｉｍｎＡｓＬｏｎｉＡｓＬｏｎＡｓＬｏｎｓ　　　　　　　ｇｇｇｊ，，ＤｉｍＣ１ＡｓｓｉｎｌｅＣ２ＡｓｓｉｎｌｅＣ３Ａｓｓｉｎ　　　　－ｇｇ，，ｌｅｉＡｓｓｉｎｌｅＡｓｓｉｎｌｅ　　　ｇｐｐｇｇ　

ｉ＝３．１４１５９２６ｐ

通过文本框输入试验次ｎ＝Ｔｅｘｔ１．Ｔｅｘｔ‘数ｎ

Ｒａｎｄｏｍｉｚｅｉ＝１ＴｏｎＦｏｒ　　

１＝Ｒｎｄ＊２＊ｐｉ　　Ｃ

ｉ２＝Ｒｎｄ＊２＊ｐ　　Ｃ

‘产生０～２３＝Ｒｎｄ＊２＊ｐｉ　　Ｃπ范围

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报

由上表结果可以看出，随着试验次数的增加，频率稳定在０与理论解一致．．５附近，

［２］３］

：例３　蒲丰投针问题［在一平面上画出大

６１

量间距为ａ的平行线，将长度ｌａ的针任意掷于＜试问针与平行线相交的概率．该平面上．

分析：

→如图６所示，将针抽象为有向线段Ｂ针尾Ａ，为Ｂ点，针头为Ａ点；平行线延伸以ｙ方向为正，针与平行线的位置关系可由针尾的位置坐标ｘ，

Ａ→重合所转过的角以及ｙ按逆时针转至与线段Ｂ，）度θ确定．其中ｘ∈［试验结果０，ａ）０，２．θ∈［π一一对应．由于随机掷针，每与有序实数对（ｘ）θ，

且试验结果有无穷多种试验的结果是等可能的，个，符合几何概型

．

图７

同样选用Ｖ取ａ＝５，编ｉｓｕａｌＢａｓｉｃ６．０，ｌ＝２，　写代码如下：

ＯｔｉｏｎＥｘｌｉｃｉｔ　ｐｐ

＿（）ＰｒｉｖａｔｅＳｕｂＣｏｍｍａｎｄ１Ｃｌｉｃｋ　　

，，ＤｉｍｎＡｓＬｏｎｉＡｓＬｏｎｓＡｓＬｏｎ　　　　　　　ｇｇｇｊ，，，ｉＤｉｍｘＡｓｓｉｎｌｅＣＡｓｓｉｎｌｅＡｓｓｉｎｌｅ　　　　　　　ｐｇｇｇＡｓｓｉｎｌｅ　ｐｇ　

，ａＡｓｓｉｎｌｅｌＡｓｓｉｎｌｅＤｉｍ　　　　　ｇｇ‘，，定义符号常量ｐｉ＝３．１４１５９２６ａｌｉｐ

图６

ａ＝５ｌ＝２

通过文本框输入试验次ｎ＝Ｔｅｘｔ１．Ｔｅｘｔ‘数ｎ

ＲａｎｄｏｍｉｚｅＦｏｒｉ＝１Ｔｏｎ　　

‘产生两个随机实数ｎｄ＊２＊ｐｉ　　Ｃ＝Ｒｎｄ＊ａ　　ｘ＝Ｒ

Ｉｆｘ＞＝ａ－１＊ｓｉｎ（Ｃ）Ｏｒｘ＜＝－１　　　　

（ｉｎＣ）Ｔｈｅｎ＊ｓ

‘满足条件则计数变量加１ｓ＝ｊｓ＋１　　　　ｊｎｄＩｆ　　Ｅ　

Ｎｅｘｔｉ　

‘计算频率ｓ／ｎｐ＝ｊ

Ｌｉｓｔ１．ＡｄｄＩｔｅｍ＂ｎ＝＂＆ｎ　＆＂　ｐ＝＂＆ｐ＂ｎ＝＂＆ｎ＆；＂　ｐ＝＂＆ｐＤｅｂｕ．ＰｒｉｎｔｇＥｎｄＳｕｂ　

＿（）ＰｒｉｖａｔｅＳｕｂＣｏｍｍａｎｄ２Ｃｌｉｃｋ　　ＥｎｄＥｎｄＳｕｂ　

（，）样本空间Ｓ＝｛ｘ）ｘ∈［０，ａ）０，２θ，｜θ∈［π｝

记事件“针与平行线相交”为Ｍ．

Ｍ发生的等价条件如下：１、Ｂ落在平行线

→上，即ｘ＝０；或２、且向量Ｂ０＜ｘ＜ａ，Ａ在ｘ轴方向的投影满足ｌｃｏｓ－ａ－ｘ或θ≥

２

）

ｌｃｏｓ

）

即ｌ此时与直线－ｓｉｎθ≤－ｘ，θ≥ａ－ｘ（

２

或ｌ此时与直线ｌｌｓｉｎ．θ≤－ｘ（１相交）２相交）

ｘ≥ａ－ｌｓｉｎθ，

则Ｍ＝（ｘθ，

或ｘ≤－ｌｓｉｎθ，

，ｘ∈［０，ａ）０，２θ∈［π）｝

｛

以θ为横坐标，以ｘ为纵坐标绘出样本空间

Ｓ和随机事件Ｍ所对应的几何区域如图７所示，图形面积即为构造出的几何量度．

阴影部分即为事件Ｍ对应的区域，阴影部分面积可通过积分求得：

２π

［Ｓ阴影＝－２ｌｓｉｎｄｌｏｓｌ－ｃθθ＝－２θ］π＝４

π

∫

２π

阴影则Ｐ（Ｍ）＝＝＝

Ｓ２ａπ

ａπ

６２

程序运行结果列表如下：

序号

１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　１７　１８　１９　

次数Ｎ１００　２００　５００　１０００　２０００　５０００　１００００　２００００　５００００　１０００００　２０００００　５０００００　１００００００　２００００００　５００００００　１０００００００　２０００００００　５０００００００　１００００００００　

０．２６０．２３０．２３２０．２５４０．２５１０．２６１８０．２５０６０．２５７８０．２５２１２０．２５５７８０．２５５００５０．２５４２７２０．２５４６３

频率Ｐ

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

Ｓ阴影这里Ｍ）＝＝＝，　　据理论公式Ｐ（

Ｓ２ａπａπ

理论值是０ｌ＝２，ａ＝５，．２５４６４７９０８．随着试验次数增加，频率值稳定在理论值附近．

结语　对于如上述几例这类问题，当我们需要给出一种严格的几何概率模型推求过程或者问没有直接的几何量度时，可以采用这种题复杂、

“通过实数坐标建立与基本事件的一一对应关系，在坐标系中用图形表示样本空间和随机事件从而的方用构造出的几何量度和几何概型公式求解”法来求解；基本事件用ｎ维实数坐标表示，可以编写关于坐标参量的程序进行计算机模拟试验进行结果验证，其中宜满足ｎ≤３，当ｎ＞３时在三维空不能用直观的几何量度进行计算，但间不能表示，

是仍可进行计算机模拟试验，当试验次数足够大时可用随机事件发生的频率值精确地估计概率值．

参考文献

０．２５４３７４５０．２５４７８０２０．２５４７２９５０．２５４６３２３０．２５４６４３５０．２５４６４２４

普通高中课程标准实验教科书数学１　山东省教学研究室编著．

人教Ａ版）必修３［山东教育出版社，基础训练（Ｍ］．济南：２００９：８７

］蒲丰投针问题的推广及其应用［阜阳师范学院学Ｊ．２　张德然．

，报（自然科学版）１９９７，１：１７—１９

［夏乐天．概率论与数理统计（第三版）河海３　印凡成，Ｍ］．南京：

大学出版社，２０１２：１４—１６

（上接第４８页）

分析　该结论错误，反例构造如图１，在［１，］上，函数ｆ（的图象如实线所示，图象如５ｘ）ｘ）ｇ（

］虚线所示，对任意ｘ∈［均成立，ｘ）ｘ）１，５≥ｇ（ｆ（但当不等式ａ＞ｆ（或ａ＜ｇ（在ｘ∈［恒ｘ）ｘ）１，５］成立时，ａ的取值范围并非是ａ＞ｆ（ｘ）ｍａｘ或ａ＜］）理由如下，ｘ）ｘ∈［１，５．ｇ（ｍｉｎ（

参考文献

］数学审题审什么，怎么审［中学数学教学参考（上１　罗增儒．Ｊ．

，旬）２０１２，４

］不要被恒成立问题中的“或”迷惑［中学数学，２　黄桂君．Ｊ．

２００９，６

］一类含绝对值不等式的解法探究［中学数学教学Ｊ．３　马洪超．

，参考（上旬）２０１２，６

——一类恒成立问题含绝对值不等式的“转化”错了吗—４　苏劼．

］错误之剖析［数学通报，Ｊ．２０１３，１

由图可知：或０．对ｘ∈０．５＞ｆ（ｘ）５＜ｇ（ｘ）［］恒成立，但０中的结论３给１，５．５并不在文［４］

出的ａ的取值范围中．因此文［中的结论３错４］误．错误的原因是默认了ｆ（的连续性，且以图ｘ）代证．

图１