数列2

数列单元检测题答案

一、选择题：ABAAC BBDCC

?1?二、填空题：11. 3∶2 12. 6 13.5 14. ?1? 15. ①②③ ?2?

S33?a1＋a3?3a235311.解析 S＝＝＝×＝. 5?a1＋a5?5a35225

12.解析 每天植树棵数构成等比数列{an}，

a1?1－qn?其中a1＝2，q＝2.则Sn＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102. 1－q

∴n≥6，∴最少天数n＝6.

13.解析 当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝

＝1.

?1??2?10???1??10????2?9??设S＝f?11?＋f?11＋…＋f?11?，倒序相加有2S＝?f?11?＋f?11??＋?f?11＋f?11??＋…??????????????????

?10??1＋f?11?＋f?11＝10，即S＝5. ????

答案 5

1?114.解析 由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝?22，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]32??

?1??1?＝?2?3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝?2?n， ????

1?1??1??1?∴Sn＝2＋?2?2＋?2?3＋…＋?2?n ??????

1??1???1－?2?n?2?????1n?2， ＝＝1－1??1－2

1∵n∈N*，∴Sn<1. 2

222215.解析 ①正确，因为a2n－an＋1＝p，所以an＋1－an＝－p，于是数列{an}为等差数2×4x1＋x2＋2×?4x1＋4x2?4x4x4x1＋24x2＋24x1＋x2＋?4x1＋4x2?×2＋4

列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正

222222222确，因为a2kn－akn＋k＝(akn－akn＋1)＋(akn＋1－akn＋2)＋(akn＋2－akn＋3)＋…＋(akn＋k－1－akn＋k)＝

kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．

三、解答题：

16.解 (1)设{an}的公差为d.由题意，得a211＝a1a13，

即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)．...........................................................4 故an＝－2n＋27.............................................................................................6

(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．….10

nn从而Sn2a1＋a3n－2)2－6n＋56)＝－3n2＋28n………………………….12

17.解 (1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13， 所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)…………………………………………….2 得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)

解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1…………………………….6

(2)由(1)知an＝2n＋1，则

1?11?1－Sn＝n(n＋2)，S＝2?nn＋2?，……………………………………………………..8 ??n

11111111?Tn＝2?1－3＋2－4＋3－5＋…＋n－n＋2 ??

111?1?＝2?1＋2－n＋1－n＋2? ??

2n＋33＝4－…………………………………………………………….12 2?n＋1??n＋2?

18.解 (1)由题设可得，对任意n∈N*，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.

?π?f′?2?＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，……………………………………..3 ??

即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．………………………….4 由a1＝2，a2＋a4＝8，解得d＝1，

所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1……………………………………………………6

11?1?(2)由bn＝2?an2a＝2?n＋1＋2＋＝2n＋2＋2，………………………..8 ?n???

1??1??1－?2n?n?n＋1?2????12知Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2＋＝n＋3n＋1－12.........12

1－2

19.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d ?S4＝4S2，由?得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．………………4 ?a2n＝2an＋1

b1b2bn1(2)由已知aaa＝1－2，n∈N*① 12n

bn－1bb1当n≥2时，aa＋…＋＝1－－②………………………………5 an－1212

b1b1①－②得：a2，又当n＝1时，a＝2也符合上式， n1bn1所以a2(n∈N*)．………………………………………………………7 n

2n－1所以bn2n∈N*)．

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

2n－1135＝2＋2＋2＋…＋2.

2n－32n－1113Tn＝＋＋…＋2222＋2＋两式相减得：

2?2n－111?22＋＋…＋?－2?2Tn＝2＋?22?2＋2n－131＝2－－－＋22

2n＋3所以Tn＝321220.解 (1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋21＝1，得a13………….1

11当n≥2时，Sn＝1－2an，Sn－1＝1－2n－1， 11则Sn－Sn－12an－1－an)，即an＝2(an－1－an)，……………………..5 1所以an3n－1(n≥2)．……………………………………6

21故数列{an}是以33 2?1?n－1?1n?3?＝?3(n∈N*)．…………………………………………..7 故an3????

1?1(2)因为1－Sn＝2n＝?3n. ??

111所以bn＝3－Sn＋1)＝log33n＋1＝n＋1，………………………………9 ??

1111因为＝＝－，……………………………………10 bnbn＋1?n＋1??n＋2?n＋1n＋2

111所以Tnbb＋bb＋…＋ bnbn＋11223

1??1?11??11?＝?2－3?＋?3－4?＋…＋?n＋1－n＋2? ??????

11＝2－……………………………………………………………………….13 n＋2

21.(1)证明 由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)．…………………3 因为bn＝an＋1，所以bn＋1＝3bn，

又b1＝a1＋1＝3，所以数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列．…….5

(2)解 由(1)知an＋1＝3n，an＝3n－1，

所以nan＝n·3n－n，……………………………………………………6 所以Sn＝(3＋2·32＋…＋n·3n)－(1＋2＋…＋n)，………………………8

n2＋n其中1＋2＋…＋n＝2

记Tn＝3＋2·32＋…＋n·3n，①

3Tn＝32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，②…………………………10

两式相减得－2Tn＝3＋3＋…＋3－n·32nn＋13－3n1

－n·3n＋1， －2＋

2n－1n＋13即Tn43＋4…………………………………………………….12

?2n－1?·3n＋12n2＋2n－3所以Sn－…………………………………………..14 44