初一数学竞赛讲座⑻列方程解应用题

初一数学竞赛讲座

第8讲 列方程解应用题

在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。

列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。

一、列简易方程解应用题

分析：欲求这个六位数，只要求出五位数abcde?x就可以了。按题意，这个六位数的3倍等于abcde1。

解：设五位数abcde?x，则六位数1abcde?105?x，六位数abcde 1?10x?1，从而有

3（105+x）=10x+1，

x＝42857。

答：这个六位数为142857。

说明：这一解法的关键有两点： 1； ⑴抓住相等关系：六位数1abcde的3倍等于六位数abcde

⑵设未知数x：将六位数1abcde与六位数abcde1用含x的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。

（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。

例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？

分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。

解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得

2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

解得x＝500。推知队伍长为：（2.6-1.4）×500=600（米）。

答：队伍长为600米。

1

说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。 例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。

解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得

（x-1）×22=（x-3）×26。

解得x=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。

答：这列火车的车身总长为286米。

例4 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲

从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙

第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？

分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追

及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题， 根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。

解：设追上甲时乙走了x分，则甲在乙前方3×90=270（米）。依题意

故有：72x＝65x+270 270解得：x? 7

2701?2777（米） 在这段时间内乙走了：72?77

由于正方形边长为90米，共四条边，故由

可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。

答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。

例5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？

分析：这是流水中的行程问题：

顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。

解答本题的关键是要先求出水流速度。

解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，

再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有

2

解得x=20。

答：甲、乙两港相距20千米。

例6 某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？

11523?分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分钟即（时）内6012

赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行x时，乘车23(x)时。列出方程，解出x，便容易安排了，不过要计算一下客车能否在11512

分钟完成。

解：把150人分三批，每批50人，步行速度为4千米/时，车速为36千米/时。设每批师生步行用x时，则

解得x＝1.5（时），即每人步行90分，乘车25分。三批人5时同时出发，第一批人乘25分钟车到达A点，下车步行；客车从A立即返回，在B点遇上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在C点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。

如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算。

25255??15第一批人到A点，客车已行36?（千米），第二批人已步行4×60360

540（千米），这时客车返回与第二批人步行共同行完15??（千米），需33

40

?1（时），客车与第二批人相遇，就是说客车第一次返回的时间是2036?43

分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用25×2＋20×2=90（分），还有115-90=25（分），正好可把第三批人按时送到。

因此可以按上述方法安排。

说明：列方程，解出需步行90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人

3

正巧可乘车25分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。

二、引入参数列方程解应用题

对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。

例7 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？

分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。

解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得

由①②，得

将③代入①，得

说明：此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。

例8 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？

分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。若能消去a，b，c，便可解决问题。

解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有

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