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点线距与两点距关系的妙用

上传者:孙莹
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上传时间:2015-05-11
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点线距与两点距关系的妙用

点线距与两点距关系的妙用 由直线外一点与直线上各点所得的一切线段中垂线段最短可知:直线外一点与直线上任一点的距离不小于它到该直线的距离,即若M是直线l上任一点,点N到直线l的距离为d.则MN≥d.利用这一结论,可以非常方便地求解某些代数问题. 1.证明等式

例1 若a、b?R,且a?b2?b?a2=1.求证: a2?b2=1. 证明:由已知条件可知:点P(a,b)在直线l:?b2?x??a2?y?1上,∵ 原点O到直线l的距离不大于OP. 即1

(1?b2)?(1?a2)?a2?b2

22整理得:(a2?b2?1)2?0 即a?b=1

2.证明不等式

例2 求证:(a?b)(x2?y2)?(ax?by)2

证明:设直线l:ax?by?c?0,则原点与直线l上任一点的距离,即为22x2?y2.由垂线最短知,此距离不小于原点到直线l的距离.即x2?y2? 又c??(ax?by)

∴ ca?b22 x2?y2a2?b2?ax?by ∴ (a2?b2)(x2?y2)?(ax?by)2 3.求函数最值

例3 x、y满足x+y+1=0,求x2?y2-2x-2y+2的最小值.

22解:原式可化为(x?1)?(y?1),其几何意义为两点P(x,y)和Q(1,1)间距离的平方,而点(x,y)在直线x+y+1=0上. 由PQ?d得 (x?1)?(y?1)?22?1?2

即 x2?y2-2x-2y+2?

4.求取值范围 9. 2

例4 已知:a+2a+b-2b=0,求3a+b的取值范围.

解:由a+2a+b-2b=0得(a?1)2?(b?1)2=2

令3a+b=? 则点Q(a,b)在直线l:3x+y-?=0上. 2222

∵P(-1,1)到直线l的距离d??3?1??

???2

由PQ?d得 (a?1)2?(b?1)2???2

∴ ??2??2?2 ∴ ?2?25???2?2 即?2?25?3a?b?2?2

评注:通过以上几例可以看出:在求某些代数问题时,联想两点距与点线距的关系,则使问题变得直观简捷,不失为一种“巧思妙解”.

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