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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载).

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题.

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性. 如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理.

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等).

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： B

我们的报名参赛队号为(8位数字组成的编号)：所属学校(请填写完整的全名)： 信阳师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 程双泽

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 何俊杰 (论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名. 以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改. 如填写错误，论文可能被取消评奖资格. )

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)： 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用)：

全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号)：

全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号)：

创意平板折叠桌的设计加工

摘 要

本文研究可折叠的桌子，通过几何关系建立折叠桌侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程；建立多目标优化模型确定折叠桌的设计过程中的折叠角度和钢筋位置，进而可以确定长方形平板材料的长度和折叠桌的最优设计加工参数；通过多目标优化模型可以完成客户任意设定的形状参数的创意平板折叠桌的设计.

针对问题一，以长方形平板中心为原点，y轴沿小木条方向，z轴指向桌底，建立空间直角坐标系，引入参数u表示直纹曲面上的任一点P还原到木板状态下到x轴的距离，参数v表示点P到yoz平面的距离，利用几何关系表示出点P的坐标，即得到直纹曲面的参数方程. 进一步消去参数可得直纹曲面的方程为

dysinθ=zdcosθ+w.

令u=L/2，就可得到桌脚边缘线的方程(5-12)或(5-13). 进一步可以确定设计加工参数，如从中间到两边的木条空槽长度分别为20.09，19.60，18.77，17.59，16.06，14.14，11.81，9.00，

5.53(cm). (

(针对问题二，以用料最省(板材最短)、加工方便(总开槽长度最短)为目标，各木条开槽下界不能超出木条、桌子状态下桌腿边缘不能相交、中间所有木条的桌腿不能沾地，以及桌子的稳固性作为约束条件，建立多目标优化模型. 利用Matlab编程,求得最优结

钢筋的初始位置到桌腿底端的距离s为43.80cm，果为：折叠桌弯折角θ为1.0605(弧度)，

木板的长度L为158.56cm.

针对问题三，先将圆形折叠桌的侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程推广到一般形状桌面和一般形状板材，然后利用多目标优化模型设计了两种特殊形状的折叠桌：非长方形板材的正方形折叠桌和8字形折叠桌. 通过改变木条的旋转角度分别画出了这两种形状折叠桌的动态变化示意图，并给出了具体的设计加工参数.

关键词：直纹曲面；折叠桌；多目标优化；参数方程

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一、 问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板. 桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度. 桌子外形由直纹曲面构成，造型美观.建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm. 建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少. 对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等. 对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数.

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状.任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌. 要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图.

二、 问题分析

对于问题一，首先建立空间直角坐标系，考虑确定直纹曲面的参数方程，引入参数u,v，其中u为直纹曲面上任一点还原到木板状态下到x轴的距离，v为任一点到平面JJJGJJJGJJGJJJGJJGyOz的距离.由几何关系可知：OP=OC+CP，分别根据空间几何关系求解OC和CP，JJJG用来表示OP，即可求得直纹曲面的参数方程. 用木条作为桌面部分的长度l及桌脚长度可确定铰链位置(即每根木条的弯折点). 木板状态时，钢筋位于各木条一半的中点位置，此时钢钉刚好位于槽的上界(以桌子状态下，槽靠近坐标原点的边界叫上界)，桌子状态时，铁钉位于槽的下界，两者的差值即为空槽长度. 当u取木板长度的一半时即为桌角边缘线的方程. 对于折叠桌的动态变化过程，可用Matlab绘制图像，编程过程可先求出桌面上各铰链的坐标，并在坐标系将铰链坐标点顺次相连，即可作出桌面曲线. 然后求钢筋的坐标，连接对应的铰链坐标点和钢筋坐标点. 最后找桌腿底端坐标点，连接对应的钢筋坐标点和桌腿底端坐标点，就得到了桌面图像.

对于问题二，考虑用料最省、加工方便作为目标，以各空槽长度不能超出木条、桌子在弯折过程中桌腿边缘不能相交、桌子的稳固性作为约束条件，利用Matlab编程,求得折叠桌弯折角θ，钢筋的初始位置到木条末端的距离s，木板的长度L,并将结果代入问题一中相应模型，即得长方形木板长度和折叠桌的最有设计加工参数..

对于问题三，先将圆形折叠桌的侧面直纹曲面和桌脚边缘线的方程推广到一般形状桌面和一般形状板材，然后利用多目标优化模型设计了两种特殊形状的折叠桌：可以考虑非长方形板材的正方形折叠桌和8字形折叠桌. 通过改变木条的旋转角度分别画出了这两种形状折叠桌的动态变化示意图，并给出了具体的设计加工参数,方法类同问题二.

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三、 模型假设

1. 不考虑钢筋粗细；

2. 空槽充分光滑；

3. 加工过程不对木材造成损失；

4. 桌脚与地面摩擦力足够大.

四、 符号说明

r：桌面的半径

W：桌面的宽度

w：木条的宽度

d：最外侧木条钢钉到铰链的距离

len：空槽长度

l：木条作为桌面的长度.

L:长方形木板的长度

θ：桌子状态下桌面与最外侧木条的夹角

h：桌子高度

s：钢筋的初始位置(平板)到木条底端的距离

五、 问题一的模型建立与求解

5.1 坐标系的建立

由于长方形木板具有对称性，故将长木板按下图5-1编号：

y

x

图5-1：长方形木板编号图 图5-2：桌子状态下的空间直角坐标系 以桌面底面的中心为坐标原点O，-1号和1号木条相接的线为y轴，在桌面底面上

作过原点并垂直y轴方向为x轴，过坐标原点并垂直xoy平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图5-2所示.

5.2 直纹曲面(桌侧面)的方程

按5.1中所述建立空间直角坐标系，设直纹曲面上任意一点P=(x,y,z)，u为P点还原到木板状态下到平面xOz的距离，v为点P到平面yOz的距离. JJJGJJJGJJG由几何关系知：OP=OC+CP.

在桌子状态下，将空间直角坐标系中各点位置关系抽象为图5-3，如下：

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