平面向量一个重要性质及应用举例
上传者：高光伟|上传时间：2015-05-11|密次下载
平面向量一个重要性质及应用举例
●李显规
平面向量一个重要性质及应用举例
一、平面向量与平面几何有着紧密的联
系, 用向量法解决平面几何问题有时显得非常
巧妙. 平面向量有下面一个重要性质:
性质:向量OA、OB不共线,则OP = λOA +
μOB
(1)λ+μ = 1Ζ P、A、B三点共线;
(2)λ+μ> 1Ζ 则O、P在直线AB的异侧;
(3)λ+μ< 1Ζ 则O、P在直线AB的同侧.
(4)λ > 0,μ > 0Ζ P在区域 AOB内;
(5)λ < 0,μ > 0Ζ P在区域 COB内;
(6)λ < 0,μ < 0Ζ P在区域 COD内;
(7)λ > 0,μ < 0Ζ P在区域 AOD内.
(8)λ= 0Ζ P在直线DB上,μ= 0Ζ P在直
线 CA上.
证明: (1) 如图 2,若OP =λOA +μOB,且
λ+μ= 1,则OP = λOA + (1 - λ) OB =λ(OA
- OB) +OB, BP = λBA,所以BP ∥BA且过同
一点 B,故 P、A、B三点共线;
若 P、A、B三点共线, 则BP = λBA, OP -
OB =λ(OA - OB) , OP = λOA + ( 1 - λ) OB,
设μ= 1 - λ, 即λ+μ= 1, OP =λOA +μOB.
综上所述, (1) 式成立.
证明: (2) 如图 3,设 Q点在直线 AB上,以
O、E、Q、D为顶点作平行四边形, 设OE = λ′
OA, OD = μOB,则由性质 1得:λ′+μ= 1,取
O = λO ,λ >λ′> 即λ+μ> , 则 | O
| > | OE | , 所以 | DP
| > | DQ | , 所以, D、P在
直线AB的异侧, 因此 P、
O在直线 AB的异侧; 同
理可证 (3) 成立; 性质
( 4) ～ (8) 显然成立.
二、这个性质在解
高考试题中的应用举例
例 1 (2007年湖北
卷) 如图 4所示, 两射线
OA与OB交于O,则下列
选项中向量的终点落在
阴 暗 区 域 内 的 有
.
①OA + 2OB ②
3
4
OA +
1
3
OB ③
1
2
OA
+
1
3
OB ④
3
4
OA +
1
5
OB ⑤
3
4
OA -
1
5
OB.
解:易知只有 ①、②中满足λ > 0,μ> 0,λ
+μ> 1,所以这道高考题的答案是: ①, ②.
例 2 (2006年湖南省卷) 如图 5所示, OM
∥AB,点 P在由射线OM,线段OB及AB的延长
线围成的区域内 (不含边界) 运动, 且OP = x
OA + yOB, 则 x的取值范围是: ; 当 x
= -
1
2
时, y的取值范围是 .
解:由性质易得: x ∈( - ∞, 0) ; 当 P在
AB
的延长线上时, x + y = 1, x = -
1
2
, 所以 y =
3
2
; 当 P在 OM上时, OP ∥AB, AB = OB - OA
= O + OB, 所以
x
=
y
,因为 x =
1
, 所
6
数理化学习 (高中版)
C A 0 1 C
- A
- 1 1
-
2
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