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一道平面几何题的十种证法

上传者:陈强强
|
上传时间:2015-05-12
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一道平面几何题的十种证法

一道平面几何题的十种证法

题目:如图1,△ABC中,D、F在AB上,AD=BF,过D作DE∥BC,交AC于E,过F作FG∥BC交AC于G.

求证 :BC=DE+FG.

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分析:证明一条线段等于另外两条线段的和,常用的方法是将线段的位置平移:

(1)延长较短线段与较长线段相等;

(2)在较长线段上截取与较短线段相等的线段;

(3)将线段适当移动位置后进行比较;

(4)采用其它比较方法,如解析法,三角法,面积法等.

一、延长较短线段与较长线段相等

解法1 如图2,延长FG到H,使FH等于BC,连结CH.(关键证GH=DE即可).

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由作法知 FH平行且等于BCFBCH是平行四边形CH=BF.

在△ADE和△CHG中,CH=BF=AD.

由CH∥

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AB∠A=∠2,又∠1=∠B,∠H=∠B,所以

∠1=∠H.∴△ADE≌△CHG,则DE=GH,

故BC=FG+GH=DE+FG.

证法2 如图3,仍延长FG到H,使GH=DE,连结CH.

(关键证BC=FH).

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由DE∥BC∥

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FG∠1=∠2=∠3.

又AD=FB,所以AE=GC.

∴△ADE≌△CHG,(SAS)

∴∠A=∠

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GCHAB∥CH.

∴四边形FBCH是平行四边形,所以,BC=FH,

∴BC=DE+FG.

证法3 如图4,延长DE到H,使DH=BC,连结CH.

(关键证FG=EH).

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由DBCH及DH=BC.

再△AFG≌△CHE,得FG=EH.

二、恰当地将线段平移

证法4 如图

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5

找EG的中点K,连接DK并延长DK交FG的延长线于H,可证得 △DEK≌△

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HGKDE=GH.

∠A=∠GCH 再证得 △ADE≌△CHG,(或证△ADK≌△CHK)

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