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对一道自主招生不等式试题的进一步研究

上传者:姜艳平
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上传时间:2015-05-12
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对一道自主招生不等式试题的进一步研究

翥舡

◎上海市松江二中

卫福山

2013年7月

对一道自主招生不等式试题的进一步研究

2008年南京大学自主招生不等式试题如下:问题:设口,b,c∈IL且a+b+c=l,求证:

(叶丢)(6+÷)(c÷÷)≥110厂00.

对于以上问题,文[1]给出了三种证明方法,主要用

到函数的凸凹性及均值不等式,文[2]指出文[1]的三种证明方法都属于“超纲”方法,并给出了一种不超纲的初等方法.特别地,文[2]给出了以上问题推广的三个命题:

命题1设o<口,6,c≤、/i了亍,求证:

(叶÷)(6+÷)(c+÷)≥(竺}+…3----.一)3;

.11

命题2设筑∈&,i=1,2,…,n,且艺xi=1,

则有耳n(算-+÷)≥(n+÷)“;

命题3设。如i≤、压而,汪1,2,…,n,且艺戈i哥,

则鼻(戈寸÷)≥(÷+÷)?

然后文[2]通过初等方法给出以上命题1的证明,从而命题2、3及问题得证.仔细看了文[2]的证明过程,技巧

还是较大,同时读者很容易提出这样一个问题:“问题及命题1、2.3是怎么想出来的?特别是以上问题及命题中的

数据120700、、/五了亍、(几+÷卜(÷+音)“是怎么出来

的?”这里充分体现出“提出问题比解决问题更重要”这句

话的科学哲理.如果从纯初等数学角度很难提出以上问题,特别是数据的拼凑,但要是结合高等数学之函数的凸

凹性及Jesen不等式,以上问题及三个命题异常简单.

命题l的新证:设及茁)由f斛土1,石∈(o,、/i了亍]:

则(小并1尸(小看矗1巩

4+去叫2

戈‘+

L戈‘+J‘

即函粼戈)是(o,、/夏可可]上的下凸函数,利用

万方数据

Jesen不等式有:

丛掣型刮坐3)’

。\

/’

代人得—ln—(a+—l∑—l+l—n(_b+Fl—)—+ln一(c+l

>11nIc+b+a

一+÷1,去掉对数符号即得证.

一+—_一J,去掉对数符号即得让.

注:从函数的凸凹性及Jesen不等式不难得到条件

“o<口,b,c≤、/2+、/了”,这是因为

,“三嘣z

厂‰)2气署万≥o∞“吉吨2≥喊∈(o,、/2+、/了]?

,——

读者对于命题2、3可采用类似的角度去理解,因此问题及三个命题实际上也可以认为是函数的凸凹性及Jesen不等式在具体函数上的应用而已顺着这样的思路

下去,我们可以提出很多貌似新颖的问题.

角度1:问题中字母a,b,c轮换能得到什么不等式?问题1:设a,b,c∈Rd呈a+b+c=1,

求证:(叶÷)(6+÷)(c+÷)≥芝笋.

分析:

以上不等式的左边(叶÷)(6+÷)(c+i1

J疋lel

轮换式,显然不能构造函数利用函数的凸凹性及Jesen不等式,应该如何证明呢?下面笔者利用初等方法的基本不等式加以证明.

证明:由条件及如c≤(型笋)3易得o<曲c≤芴1.

(叶÷)(6+÷)(c+÷)=旦竺堕与掣

1+(c击+6c+c口)+(粕c+曲2c+曲c2)+口262c2

abc

1+(口6+6c+ca)+曲c+c如2c2

abc

=曲c+去+(吉+i1+÷)(叶6+c)+?≥127+27+9+?

一旦堕

一27’

lll_Il■中。7毒幺-7高中版

2013年7月等号成立的条件是仁6:c=÷.

角度2:将问题1从系数上加以推广

N@2:若n,6,c为满足叶6+c=1的正数,A≥±9,

则(叶丢)(6+÷)(c+含)≥(÷+3A)j

(参见文[3]定理1)

分析:在文[3]中杨学枝老师利用赫尔德(Holder)不

等式给出了问题2的证明,实际上f.-I题2只是在系数上对问题l加以推广,证明方法完全类似.

证明:由条件及曲c≤(竺笋)3易得o<曲c≤去.=(a4—A3+A1(6+舍)(c+告塑娑岩型

2(ab+bc+cabc

—a)+Aabc+a。b2c2

=柚c+芸“2(÷+了1+÷)c叶6+c,“

>t127+27As+9A2+A=(÷+3A)3,

等号成立的条件是仁6:c=了1.

注:从以上的证明中也能推导出条件“A≥吉”,这是

NNabc+暑≥刍+27A3,结合耐克函数y≈+等及戈∈

(0'刍]知刍≤、/矿jA≥吉.

角度3:在条件“设a,b,C∈R+且a+b+c=l”下,o,b,c∈

(o,1),则上,_1,一1∈(1,+∞),

上一D0,1—6>0,1一c>0,利用上一口,三一6,土一c能

DC

否构造一些新的问题呢?

fn-'Jt3:设a,b,c∈R+J1a+b+c=1,

贝1](一1a一1_一,1(+-ct>-(8t:

分析:以上不等式的证明可以在很多文献中找到,如

文[4]~[7],其证明方法有五种,下面给出其中用凸凹性

的较简单的证明.

i正I!lt:谢戈):lnf上咄1,戈∈(o,1),

则厂’(z)=叫_2.1,厂,,(戈)=2x4>0,故“菇)是(0,1)上的下

万方数据

考卷解析

凸函数,由Jesen不等式有:丛生掣彰(竺竽),

代入得:

h(1一-a)+ln(÷山)+-n(÷-c)≥3?n3一÷)=?n(詈)3,

去掉对数符号即得证.

角度4:将问题3中字母a,b,c轮换能得到什/z,不等式?

问题4:设a,b,C∈ILJla+b+c=1,

则(丢一6)(÷一c)(÷一口)≥(号)i

证明:对于a,b,c∈&,有如下几个常用不等式:

3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2;

虻恼?佩≤了a+b+c?坐产

=二(叶6+c)(ab+bc+ca);

(b+c)(c+Ⅱ)(Ⅱ+6)=(n+6+c)(ab+bc+ca)一abc

≥(a+b+c)(ab+bc+ca)一_1(Ⅱ+6+c)(ab+bc+ca):旦(口+6+c)(拍+6c+ca).

在以上不等式及条件a+b+c=1下,有

(吉一6)(÷—c)(÷一口)=』!二!!;}丢掣

』型些丛!型≥!!:兰!!!二兰坚兰!

ab。bc+bc‘ca-t-ca。ab

——广

(曲+6c+ca)2

一i。———————弋忑石忑iF—————一

3.[(1-a2)+(1-b2)][(1-b2)+(1一c2)][(1一c2)+(1-a2)]

H[(b+c)(2a+b+c)+(c+口)(o+26+c)]

[(曲+6c+c口)(口+6+c)]2

3兀[(b+c)(叶6)+(6+c)(c+n)+(c+n)(叶6)+(c+口)(6+c)]

[(ab+bc+ca)(a+b+c)]2

≥三.Ⅱ兰塑巫婴叵匝翌

i9(b+c)(c+口)(n+6)]2

3/8\264(叶6)2(6+c)2(c+n)2

8\9/[(b+c)(c+o)(o+6)]2

=㈡i

读者可以在问题4的基础上继续研究,如研究其各种形式的推广等,这里从略.

高中版十??j受-7

Illl

数在

命题感悟

2013年7月

追寻高考数学试题中的多元文化元素

⑩江苏省宜兴中学张海强吴华平

((2013年高考数学科考试大纲(新课标)》在“个性品

质要求”中指出:个性品质要求是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审

一、数学史料中的文化元素

毕达哥拉斯学派对自然数可谓情有独钟,对其作了多方面、系统的和深入的考察.他们发现了亲和数:如果每个数是另一个数的真因数之和,即两个数是亲和的,女【1284和220.

他们研究了“形数”,其中包括三角形数,正方形数,五边形数等,这些数都被看成是某些几何图形中点的数目,许多关于形数的有趣定理能以纯几何的方法来证明.2012年湖北省高考文科第17题即是以此为背景编拟的.

试题引用:传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经

慎的思维习惯,体会数学的美学价值.这一要求如何在

兼具选拔与导向功能的高考中落到实处呢?回眸历年高考试题,笔者发现多元的数学文化元素在高考试题中的渗透是实现这一考查要求的主要途径.下面即跟随笔者

的脚步去追寻高考数学试题中的多元文化元素,领略数

学文化在激烈的考试竞争中给我们带来的力量、传承、影响、情怀和温暖.

角厦5:将条件“a+b+c2l”改成“abc21“,有凹§些筇论?

读者可以将研究继续进行下去,从中我们或许能产生很多新颖的不等式.

问题5:设口,b,c∈R且abc=l,

则(叶丢)(6+÷)(c+11)38.

参考文献:

证明:(叶吉).(6+÷)(c+÷)≥2伊。÷。2、/6‘÷’

1.时宝军.李淑莲.于瑞广.一道自主招生数学试题的解法探究与评析[J].数学通讯(下半月),2010(2):56—57.

2.赵思林.李兴贵.一道自主招生不等式试题的初等解法探究[J].数学通讯(下半月),2010(10):49.

3.杨学枝.两个代数不等式猜想的推广[J].数学通讯

(下半月),2010(10):38—39.

2怔一s.,.

Ihq题4稍加变化,便得到2007年乌克兰数学竞赛不等

式试题:

设8。6,c∈R且abc≥1,

4.杨先义.一个不等式的推广[J].数学通讯,2002(19):

29.

则(0+击j(6+击)(c+击净278.

关于其证明,读者可以参阅文献[8].

5.粱丽平.安振平.一个代数不等式的两种初等证法[J3.中学数学研究,2003(3):4l—42.

6.马占山,薛卫华.一个不等式的简单初等证明[J].数学通讯(下半月),2010(5):33.

7.李歆。也谈一个不等式的简单初等证明[J].数学通

讯(下半月),2010(9):29.

问题6:设口,b,c∈IL且abc=l,

则(n+÷)(6+÷){c+÷)≥8.

证明:ta+{t16+÷)(c+÷)≥2\/n。÷‘2\/6,÷?

2、/c.丢-s.

8.邹守文.一道2007年乌克兰竞赛题的问x-x.-证[J].中学

数学.2007(8):25.■

慰囊囊黼中。7j受??高中版

万方数据

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对一道自主招生不等式试题的进一步研究

作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):卫福山上海市松江二中中学数学Middle School Mathematics2013(13)

参考文献(8条)

1.时宝军;李淑莲;于瑞广 一道自主招生数学试题的解法探究与评析 2010(02)

2.赵思林;李兴贵 一道自主招生不等式试题的初等解法探究 2010(10)

3.杨学枝 两个代数不等式猜想的推广 2010(10)

4.杨先义 一个不等式的推广[期刊论文]-数学通讯 2002(19)

5.梁丽平;安振平 一个代数不等式的两种初等证法[期刊论文]-中学数学研究 2003(03)

6.马占山;薛卫华 一个不等式的简单初等证明 2010(05)

7.李歆 也谈一个不等式的简单初等证明 2010(09)

8.邹守文 一道2007年乌克兰竞赛题的简证[期刊论文]-中学数学 2007(08)

引用本文格式:卫福山 对一道自主招生不等式试题的进一步研究[期刊论文]-中学数学 2013(13)

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