对一道自主招生不等式试题的进一步研究
上传者:姜艳平|上传时间:2015-05-12|密次下载
对一道自主招生不等式试题的进一步研究
翥舡
◎上海市松江二中
卫福山
2013年7月
对一道自主招生不等式试题的进一步研究
2008年南京大学自主招生不等式试题如下:问题:设口,b,c∈IL且a+b+c=l,求证:
(叶丢)(6+÷)(c÷÷)≥110厂00.
对于以上问题,文[1]给出了三种证明方法,主要用
到函数的凸凹性及均值不等式,文[2]指出文[1]的三种证明方法都属于“超纲”方法,并给出了一种不超纲的初等方法.特别地,文[2]给出了以上问题推广的三个命题:
命题1设o<口,6,c≤、/i了亍,求证:
(叶÷)(6+÷)(c+÷)≥(竺}+…3----.一)3;
.
.11
命题2设筑∈&,i=1,2,…,n,且艺xi=1,
则有耳n(算-+÷)≥(n+÷)“;
命题3设。如i≤、压而,汪1,2,…,n,且艺戈i哥,
则鼻(戈寸÷)≥(÷+÷)?
然后文[2]通过初等方法给出以上命题1的证明,从而命题2、3及问题得证.仔细看了文[2]的证明过程,技巧
还是较大,同时读者很容易提出这样一个问题:“问题及命题1、2.3是怎么想出来的?特别是以上问题及命题中的
数据120700、、/五了亍、(几+÷卜(÷+音)“是怎么出来
的?”这里充分体现出“提出问题比解决问题更重要”这句
话的科学哲理.如果从纯初等数学角度很难提出以上问题,特别是数据的拼凑,但要是结合高等数学之函数的凸
凹性及Jesen不等式,以上问题及三个命题异常简单.
命题l的新证:设及茁)由f斛土1,石∈(o,、/i了亍]:
.
.
则(小并1尸(小看矗1巩
4+去叫2
戈‘+
L戈‘+J‘
即函粼戈)是(o,、/夏可可]上的下凸函数,利用
万方数据
Jesen不等式有:
丛掣型刮坐3)’
3
。\
/’
代人得—ln—(a+—l∑—l+l—n(_b+Fl—)—+ln一(c+l
I
>11nIc+b+a
一+÷1,去掉对数符号即得证.
一+—_一J,去掉对数符号即得让.
注:从函数的凸凹性及Jesen不等式不难得到条件
“o<口,b,c≤、/2+、/了”,这是因为
,“三嘣z
厂‰)2气署万≥o∞“吉吨2≥喊∈(o,、/2+、/了]?
,——
读者对于命题2、3可采用类似的角度去理解,因此问题及三个命题实际上也可以认为是函数的凸凹性及Jesen不等式在具体函数上的应用而已顺着这样的思路
下去,我们可以提出很多貌似新颖的问题.
角度1:问题中字母a,b,c轮换能得到什么不等式?问题1:设a,b,c∈Rd呈a+b+c=1,
求证:(叶÷)(6+÷)(c+÷)≥芝笋.
分析:
以上不等式的左边(叶÷)(6+÷)(c+i1
J疋lel
轮换式,显然不能构造函数利用函数的凸凹性及Jesen不等式,应该如何证明呢?下面笔者利用初等方法的基本不等式加以证明.
证明:由条件及如c≤(型笋)3易得o<曲c≤芴1.
(叶÷)(6+÷)(c+÷)=旦竺堕与掣
1+(c击+6c+c口)+(粕c+曲2c+曲c2)+口262c2
abc
1+(口6+6c+ca)+曲c+c如2c2
abc
=曲c+去+(吉+i1+÷)(叶6+c)+?≥127+27+9+?
一旦堕
一27’
lll_Il■中。7毒幺-7高中版
2013年7月等号成立的条件是仁6:c=÷.
角度2:将问题1从系数上加以推广
N@2:若n,6,c为满足叶6+c=1的正数,A≥±9,
则(叶丢)(6+÷)(c+含)≥(÷+3A)j
(参见文[3]定理1)
分析:在文[3]中杨学枝老师利用赫尔德(Holder)不
等式给出了问题2的证明,实际上f.-I题2只是在系数上对问题l加以推广,证明方法完全类似.
证明:由条件及曲c≤(竺笋)3易得o<曲c≤去.=(a4—A3+A1(6+舍)(c+告塑娑岩型
2(ab+bc+cabc
—a)+Aabc+a。b2c2
=柚c+芸“2(÷+了1+÷)c叶6+c,“
>t127+27As+9A2+A=(÷+3A)3,
等号成立的条件是仁6:c=了1.
注:从以上的证明中也能推导出条件“A≥吉”,这是
NNabc+暑≥刍+27A3,结合耐克函数y≈+等及戈∈
(0'刍]知刍≤、/矿jA≥吉.
角度3:在条件“设a,b,C∈R+且a+b+c=l”下,o,b,c∈
(o,1),则上,_1,一1∈(1,+∞),
上一D0,1—6>0,1一c>0,利用上一口,三一6,土一c能
a
D
C
a
DC
否构造一些新的问题呢?
fn-'Jt3:设a,b,c∈R+J1a+b+c=1,
贝1](一1a一1_一,1(+-ct>-(8t:
分析:以上不等式的证明可以在很多文献中找到,如
文[4]~[7],其证明方法有五种,下面给出其中用凸凹性
的较简单的证明.
i正I!lt:谢戈):lnf上咄1,戈∈(o,1),
则厂’(z)=叫_2.1,厂,,(戈)=2x4>0,故“菇)是(0,1)上的下
万方数据
考卷解析
凸函数,由Jesen不等式有:丛生掣彰(竺竽),
代入得:
h(1一-a)+ln(÷山)+-n(÷-c)≥3?n3一÷)=?n(詈)3,
去掉对数符号即得证.
角度4:将问题3中字母a,b,c轮换能得到什/z,不等式?
问题4:设a,b,C∈ILJla+b+c=1,
则(丢一6)(÷一c)(÷一口)≥(号)i
.
证明:对于a,b,c∈&,有如下几个常用不等式:
3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2;
虻恼?佩≤了a+b+c?坐产
=二(叶6+c)(ab+bc+ca);
(b+c)(c+Ⅱ)(Ⅱ+6)=(n+6+c)(ab+bc+ca)一abc
≥(a+b+c)(ab+bc+ca)一_1(Ⅱ+6+c)(ab+bc+ca):旦(口+6+c)(拍+6c+ca).
在以上不等式及条件a+b+c=1下,有
(吉一6)(÷—c)(÷一口)=』!二!!;}丢掣
』型些丛!型≥!!:兰!!!二兰坚兰!
ab。bc+bc‘ca-t-ca。ab
——广
(曲+6c+ca)2
一i。———————弋忑石忑iF—————一
3.[(1-a2)+(1-b2)][(1-b2)+(1一c2)][(1一c2)+(1-a2)]
3
H[(b+c)(2a+b+c)+(c+口)(o+26+c)]
8
[(曲+6c+c口)(口+6+c)]2
3兀[(b+c)(叶6)+(6+c)(c+n)+(c+n)(叶6)+(c+口)(6+c)]
8
[(ab+bc+ca)(a+b+c)]2
≥三.Ⅱ兰塑巫婴叵匝翌
8
i9(b+c)(c+口)(n+6)]2
3/8\264(叶6)2(6+c)2(c+n)2
8\9/[(b+c)(c+o)(o+6)]2
=㈡i
读者可以在问题4的基础上继续研究,如研究其各种形式的推广等,这里从略.
高中版十??j受-7
Illl
数在
命题感悟
2013年7月
追寻高考数学试题中的多元文化元素
⑩江苏省宜兴中学张海强吴华平
((2013年高考数学科考试大纲(新课标)》在“个性品
质要求”中指出:个性品质要求是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审
一、数学史料中的文化元素
毕达哥拉斯学派对自然数可谓情有独钟,对其作了多方面、系统的和深入的考察.他们发现了亲和数:如果每个数是另一个数的真因数之和,即两个数是亲和的,女【1284和220.
他们研究了“形数”,其中包括三角形数,正方形数,五边形数等,这些数都被看成是某些几何图形中点的数目,许多关于形数的有趣定理能以纯几何的方法来证明.2012年湖北省高考文科第17题即是以此为背景编拟的.
试题引用:传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经
慎的思维习惯,体会数学的美学价值.这一要求如何在
兼具选拔与导向功能的高考中落到实处呢?回眸历年高考试题,笔者发现多元的数学文化元素在高考试题中的渗透是实现这一考查要求的主要途径.下面即跟随笔者
的脚步去追寻高考数学试题中的多元文化元素,领略数
学文化在激烈的考试竞争中给我们带来的力量、传承、影响、情怀和温暖.
角厦5:将条件“a+b+c2l”改成“abc21“,有凹§些筇论?
读者可以将研究继续进行下去,从中我们或许能产生很多新颖的不等式.
问题5:设口,b,c∈R且abc=l,
则(叶丢)(6+÷)(c+11)38.
参考文献:
证明:(叶吉).(6+÷)(c+÷)≥2伊。÷。2、/6‘÷’
1.时宝军.李淑莲.于瑞广.一道自主招生数学试题的解法探究与评析[J].数学通讯(下半月),2010(2):56—57.
2.赵思林.李兴贵.一道自主招生不等式试题的初等解法探究[J].数学通讯(下半月),2010(10):49.
3.杨学枝.两个代数不等式猜想的推广[J].数学通讯
(下半月),2010(10):38—39.
2怔一s.,.
Ihq题4稍加变化,便得到2007年乌克兰数学竞赛不等
式试题:
设8。6,c∈R且abc≥1,
4.杨先义.一个不等式的推广[J].数学通讯,2002(19):
29.
则(0+击j(6+击)(c+击净278.
关于其证明,读者可以参阅文献[8].
5.粱丽平.安振平.一个代数不等式的两种初等证法[J3.中学数学研究,2003(3):4l—42.
6.马占山,薛卫华.一个不等式的简单初等证明[J].数学通讯(下半月),2010(5):33.
7.李歆。也谈一个不等式的简单初等证明[J].数学通
讯(下半月),2010(9):29.
问题6:设口,b,c∈IL且abc=l,
则(n+÷)(6+÷){c+÷)≥8.
证明:ta+{t16+÷)(c+÷)≥2\/n。÷‘2\/6,÷?
2、/c.丢-s.
8.邹守文.一道2007年乌克兰竞赛题的问x-x.-证[J].中学
数学.2007(8):25.■
慰囊囊黼中。7j受??高中版
万方数据
内容需要下载文档才能查看
对一道自主招生不等式试题的进一步研究
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):卫福山上海市松江二中中学数学Middle School Mathematics2013(13)
参考文献(8条)
1.时宝军;李淑莲;于瑞广 一道自主招生数学试题的解法探究与评析 2010(02)
2.赵思林;李兴贵 一道自主招生不等式试题的初等解法探究 2010(10)
3.杨学枝 两个代数不等式猜想的推广 2010(10)
4.杨先义 一个不等式的推广[期刊论文]-数学通讯 2002(19)
5.梁丽平;安振平 一个代数不等式的两种初等证法[期刊论文]-中学数学研究 2003(03)
6.马占山;薛卫华 一个不等式的简单初等证明 2010(05)
7.李歆 也谈一个不等式的简单初等证明 2010(09)
8.邹守文 一道2007年乌克兰竞赛题的简证[期刊论文]-中学数学 2007(08)
引用本文格式:卫福山 对一道自主招生不等式试题的进一步研究[期刊论文]-中学数学 2013(13)
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 小学教师资格考试教育心理学试题及答案第一套
- 中学教育心理学同步练习题:第八章 学习策略
- 小学教育学同步练习题:第十章 课外活动
- 中学教师资格《教育学》:班组管理的意义
- 幼儿教育心理学课后练习:第二章儿童发展的基础
- 小学教育学同步练习题:第一章 教育与教育学
- 中学教育心理学同步练习题:第十五章 教师心理
- 2009年河南省教师职业素质和技能考试试卷(A)
- 2013年教师资格考试小学教育心理学试题(2)
- 教师资格考试中学综合素质考点归纳:写作能力
- 中学教育心理学同步练习题:第十四章 教学测量与评价
- 小学教育学同步练习题:第七章 教学(下)
- 2013年中学教育学同步训练:班级管理
- 河南省教师资格《教师职业道德》考点归纳
- 中学教育心理学同步练习题:第七章 技能的形成
- 2013年教师资格证考试:中学教育学练习题及答案(八)
- 小学教育学同步练习题:第四章 学生与教师
- 2013年中学教育学同步训练:德育
- 2013年教师资格证考试:中学教育学练习题及答案(九)
- 中学教师《教育知识与能力》考点:人本主义
- 中学教育心理学同步练习题:第六章 知识的学习
- 中学教师资格《教育学》:班级管理的模式
- 教师资格考试之教师职业道德习题及答案(八)
- 教师资格考试中学综合素质考点归纳:职业理念
- 中学教育心理学同步练习题:第十章 态度与品德的形成
- 中学教育心理学同步练习题:第十三章 课堂管理
- 2010年河南省教师职业素质和技能考试试卷(A)
- 中学教育心理学同步练习题:第五章 学习的迁移
- 2013年教师资格证考试:中学教育学练习题及答案(十)
- 教师资格考试之教师职业道德习题及答案(六)
网友关注视频
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 7
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 外研版英语三起6年级下册(14版)Module3 Unit1
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第25集 生活中常见的盐(二)
- 二年级下册数学第三课 搭一搭⚖⚖
- 《小学数学二年级下册》第二单元测试题讲解
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 3
- 第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
- 3月2日小学二年级数学下册(数一数)
- 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342
- 北师大版小学数学四年级下册第15课小数乘小数一
- 人教版历史八年级下册第一课《中华人民共和国成立》
- 人教版二年级下册数学
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 沪教版牛津小学英语(深圳用)五年级下册 Unit 1
- 每天日常投篮练习第一天森哥打卡上脚 Nike PG 2 如何调整运球跳投手感?
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,湖北省
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit3
- 3.2 数学二年级下册第二单元 表内除法(一)整理和复习 李菲菲
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的简单应用》
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,天津市
- 第12章 圆锥曲线_12.7 抛物线的标准方程_第一课时(特等奖)(沪教版高二下册)_T274713
- 北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场
- 河南省名校课堂七年级下册英语第一课(2020年2月10日)
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T1406126
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店(其五)》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,广东省
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《余数和除数的关系》
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理