2015年上学期高一数学（理）期末试卷及答案

武汉二中2014——2015学年下学期

高一年级期末考试

数学(理科)试卷

命题教师: 江峰  审题教师: 赖海燕

考试时间: 2015年7月2 日 上午9: 00—11: 00 试卷满分: 150分

一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 的值为 (  )

A. B. C. D.

2. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

]3. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面, 则能得出 的是 (  )

A. , , B. , ,

C. , , D. , ,

4. 为等差数列, 为其前 项和, 则 (  )

A. B. C. D.

5. 如图所示, 在直三棱柱ABC ­A1B1C1中, BC=AC, AC1⊥A1B, M, N

分别为A1B1, AB的中点, 给出下列结论: ①C1M⊥平面A1ABB1;

②A1B⊥AM; ③平面AMC1 ∥平面CNB1.其中正确结论的个数为(  )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 在 中, 若 , 则 边上的高等于(  )

A. B. C. 3 D.

7. 已知圆C: x2+y2-2x=1, 直线l: y=k (x-1)+1, 则与C的位置关系是 (  )

A. 一定相离 B. 一定相切

C. 相交且一定不过圆心 D. 相交且可能过圆心

8. 已知 是正数, 且满足 . 那么 的取值范围是 (  )

A. B. C.(1,16) D.

9. 已知数列 满足 , 若 是递减数列, 则实数 的

取值范围是 (  )

A. ( , 1) B. ( , ) C. ( , 1) D. ( , )

10. 正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别为线段AA1, B1C上的点, 则三棱锥D1 ­ EDF

的体积为 (  )

A. B.

C. D.

11. 在 中, , , 是 的中点, 若 是 的中点, 是 (包括边界)内任一点. 则 • 的取值范围是 (  )

A. B. C. D .

12. 数列 满足: , 且对每个 , 是方程 的两根, 则 的

前6项的和的4倍为 (  )

A. 183 B. 132 C. 528 D. 732

二、填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分

13. 已知 满足约束条件 则 的最大值为   .

14.已知圆 : , 直线 与圆 相切, 且切点在第四象限, 则 .

15.已知 , ,且 ,若 恒成立,则m的取值范围是___________________

16. 等差数列 中, , 且其前n项和Sn有最小值, 以下命题正确的是 .

①公差 ; ② 为递减数列; ③S1, S2……S19都小于零, S20, S21……都大于零;

④ 时, Sn最小; ⑤ 时, Sn最小.

三、解答题: 本大题共6小题, 共70分. 17、18题10分, 19、20、21题12各12分, 22题14分; 解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 公差不为零的等差数列 中, , 成等比数列.

(1) 求数列 的通项公式;

(2) 设 , 求数列 的前项和 .

18. 已知f(x)=a•b, 其中a=(2cos x, -3sin 2x), b=(cos x, 1)(x∈R).

(1) 求f(x)的最小正周期和单调递减区间;

(2) 在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, f(A)=-1, a=7, AB→•AC→=3, 求b和c

的值(b>c).

19. 已知直线l的方程为t(x-1)+2x+y+1=0 (t∈R)

(1) 若直线l在两坐标轴上的截距相等, 求直线l的方程;

(2) 若直线l不经过第二象限, 求实数t的取值范围.

20. 已知圆C: x2+y2+x-6y+m=0与直线l: x+2y-3=0.

(1) 若直线l与圆C没有公共点, 求m的取值范围;

(2) 若直线l与圆C相交于P、Q两点, O为原点, 且OP⊥OQ, 求实数m的值.

21. 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是 平行四边形, 平面PAB⊥平面ABCD, PA=PB

=AB= AD,∠BAD=60º, 点E,F分别为AD,PC的中点.

(1) 求证: EF∥平面PAB;

(2) 求二面角D-PA-B的余弦值.

22. 设 是非负等差数列 的前n项和, ,若 , 求证:

(1) 成等差数列;

(2) .

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数学试卷参考答案

1-6 CDCADA 7-12 CBDABD

13. ;    14 . ;     15 ;   16. ①③⑤

17. (1) 数列{an}的通项公式为

(2) ,数列{bn}是以2为首项，8为公比的等比数列，

18. (1) T=π f(x)的单调递减区间为kπ-π6，kπ+π3，k∈Z

(2) b=3，c=2

19. (1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时相等，

所以t=1，直线l的方程为3x+y=0.

当直线l不过原点时，由截距存在且均不为0，

得 =t-1，即t+2=1，

所以t=-1，直线l的方程为x+y+2=0.

故所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)将直线l的方程化为y=-(t+2)x+t-1，

因为l不经过第二象限，

所以 或 所以t≤-2，

所以t的取值范围是(-∞，-2].

20.(1)圆的方程为(x+12)2+(y-3)2=37-4m4，

故有37-4m4>0，解得m<374.

将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，

得x+2y-3=0，x2+y2+x-6y+m=0，消去y，得x2+(3-x2)2+x-6×3-x2+m=0，

整理，得5x2+10x+4m-27=0.①

∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解.

故有Δ=102-4×5(4m-27)<0，解得m>8.

∴m的取值范围是(8，374).

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由OP⊥OQ，得OP→•OQ→=0，即x1x2+y1y2=0.②

由(1)及根与系数的关系，得

x1+x2=-2，x1x2=4m-275.③

又∵P、Q在直线x+2y-3=0上，

∴y1y2=3-x12×3-x22=14[9-3(x1+x2)+x1x2].

将③代入上式，得y1y2=m+125，④

将③④代入②，得x1x2+y1y2=4m-275+m+125=0，

解得m=3.

代入方程①检验得Δ>0成立，∴m=3.

21.(1)如图，取PB的中点G，联结AG，FG，

∵点F为PC的中点，

∴FG∥BC,且FG= BC

又底面ABCD是平行四边形，点E为AD的中点

∴AE∥BC,且AE= BC

∴FG∥AE且FG=AE

∴四边形AEFG是平行四边形

∴E F∥AC,又AG 平面PAB， EF 平面 PAB

∴EF∥平面PAB

(2)如图，取PA的中点N，连BN,DN

∵△PAB是等边三角形, ∴BN⊥PA.

∵AB= AD,∠ BAD=60º

∴△ABD是直角三角形，且∠ ABD=90º

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABC D=AB. BD 平面ABCD,

BD ⊥AB ∴B D⊥平面PAB

又PB 平面PAB，∴BD⊥PB

又PB=AB, ∴Rt△PBD ≌ Rt△ABD

∴PD =AD,DN⊥AP，

∴∠DNB是二面角D-PA-B的平面角.

由BD⊥平面PAB可知BD ⊥BN,

在Rt△BDN中,BD= AB=2BN,DN= BN,

∴

∴二面 角D-PA-B的余弦值为

22. (1) 证明略

(2)证明：在等差数列 中，由 易得 ，等式两边同时加 ，得 . 由等差数列前n项和公式化简得 ，有

因此， ，

故 .

又 (以上等号可同时成立)

故 成立