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2015年高一下学期期末数学(文)试题及答案

上传者:石秀华
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上传时间:2015-12-08
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2015年高一下学期期末数学(文)试题及答案

江西省高安中学2014-2015学年度下学期期末考试

高一年级文科数学试题

一.选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.不等式 的解集为( )

A. B.

C. D.

2. 数列 的一个通项公式是(  )

A. B.

C. D.

3. 设 ,且 ,则( )

A. B. C. D.

4. 在等差数列 中, 是方程 的两根,则 等于 (  ).

A.12 B.14 C.-72 D.-74

5. 则 (  )

A. B. C. D.

6. 在等比数列中,a1=98,an=13,q=23,则项数n为(  )

A.3 B.4 C.5 D.6

7.已知不等式 >0的解集为 ,那么 =(  )

A.3 B. C.-1 D.1

8.若 ,则 (  )

A. B. C. D.

9. 在 中,角 、 的对边分别为 、 且 , ,则 的值是( )

A. B. C. D.

10. 已知数列 的通项公式 ,设 的前 项积为 ,则使 成立的自然数 (  )

A.有最大值62 B.有最小值63 C.有最大值62 D.有最小值31

11.已知 , ,且 , ( )

A. B. C. D.

12.已知数列 满足 则 的前60项和为( )

A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)

13.不等式 的解集为___________.

14.已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________.

15.函数 = 的最小正周期是    .

16. 如图,从玩具飞机A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯

角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约

等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)

三、解答题:本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)当a为何值时,不等式 的解集是全体实数?

18.(本小题满分12分) 已知 ,求:

(1) 的最小值;(2) 的最小值.

19.( 本小题满分12分)已知等差数列 满足: , , 的前n项和为 .

(1) 求 及 ;

(2) 求数列 的前 项和为 .

20.(本小题满分12分)已知 .

(1)求角 的大小;

(2)如果 , ,求 的面积.

21. (本小题满分12分)已知函数 ,其中a∈R,

(1)当 时,求 在区间 上的最大值与最小值;

(2)若 ,求a,θ的值.

22.(本小题满分12分)设各项均为正数的等比数列 中,

(1)求数列 的通项公式;

(2)若 ,求证: ;

(3)是否存在正整数k,使得 对任意正整数n均成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,说明理由.

江西省高安中学2014-2015学年度下学期期末考试

高一年级文科数学试答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

选项 A D D B A B B A B B C D

13 14. 110 15 .8 16.60

17若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;………….2分

.若a=-1,原不等式为2x-1<0,即x<12,不符合题目要求,舍去.………….4分

(2)当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集是全体实数的条件是a2-1<0,Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0,…………6分

解得-35

综上所述,当-35

18.解:(1)∵x>0,y>0,

∴xy=2x+8y≥216xy

即xy≥8xy,∴xy≥8,

即xy≥64. …………4分

当且仅当2x=8y

即x=16,y=4时,“=”成立.…………5分

∴xy的最小值为64…………6分

(2)∵x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,

∴2x+8y=xy,即2y+8x=1.

∴x+y=(x+y)•(2y+8x)=10+2xy+8yx≥10+22xy•8yx=18…………10分

当且仅当2xy=8yx,即x=2y=12时“=”成立.

∴x+y的最小值为18. …………12分

19. (1)解得 , ,……….2分

所以 ;………….3分

.………….6分

(2)由(Ⅰ)可知, ,所以

所以

.……….12分

20.解:(1)因为 ,所以 ,… …………………3分

又因为 ,所以 ………………………5分

(2)因为 , ,所以 …………6分

由正弦定理 ,得 ……………………………………7分

因为 ,所以 ……………………………………8分

解得 ,因为 ,所以 …………………… ………………10分

故△ABC的面积 …………………………………………12分

21.解:(1)当a=2,θ=π4时,

f(x)=sinx+π4+2cosx+π2=22sin x+cos x-2sin x=22 cos x-22 sin x=sin π4-x,……………….3分

因为x∈[0,π],从而π4-x∈-3π4,π4,…………………4分

故f(x)在[0,π]上的最大值为22,最小值为-1………….6分

(2)由fπ2=0,fπ=1

得 cos θ1-2asin θ=0,2asin2 θ-sin θ-a=1. ………………7分.

又θ∈-π2,π2知cos θ≠0,

解得a=-1,θ=-π6.………….12分

22.解:(1)设数列{an}的公比为q(q>0),

由题意有a1+a1q2=10a1q2+a1q4=40,

∴a1=q=2,∴an=2n,

∴bn=n. …………3分.

(2 )∵c1=1<3,cn+1-cn=n2n,…………4分.

当n≥2时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+12+222+…+n-12n-1,

∴12cn=12+122+223+…+n-12n.

相减整理得:cn=1+1+12+…+12n-2-n-12n-1=3-n+12n-1<3 ,

故cn<3. …………7分.

(3)令f(n)=1bn+1+1bn+2+…+1bn+n

=1n+1+1n+2+…+12n

∵f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2- 1n+1

=12n+1-12n+2>0,

∴f(n+1)>f(n).

∴数列{f(n)}单调递增,

∴f(n)min=f(1)=12.

由不等式恒成立得:k10<12,

∴k<5.

故存在正整数k,使不等式恒成立,k的最大值为4…………12分.

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