2015年高一下学期期末数学(文)试题及答案
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2015年高一下学期期末数学(文)试题及答案
江西省高安中学2014-2015学年度下学期期末考试
高一年级文科数学试题
一.选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
2. 数列 的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
3. 设 ,且 ,则( )
A. B. C. D.
4. 在等差数列 中, 是方程 的两根,则 等于 ( ).
A.12 B.14 C.-72 D.-74
5. 则 ( )
A. B. C. D.
6. 在等比数列中,a1=98,an=13,q=23,则项数n为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知不等式 >0的解集为 ,那么 =( )
A.3 B. C.-1 D.1
8.若 ,则 ( )
A. B. C. D.
9. 在 中,角 、 的对边分别为 、 且 , ,则 的值是( )
A. B. C. D.
10. 已知数列 的通项公式 ,设 的前 项积为 ,则使 成立的自然数 ( )
A.有最大值62 B.有最小值63 C.有最大值62 D.有最小值31
11.已知 , ,且 , ( )
A. B. C. D.
12.已知数列 满足 则 的前60项和为( )
A.3690 B.3660 C.1845 D.1830
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.不等式 的解集为___________.
14.已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________.
15.函数 = 的最小正周期是 .
16. 如图,从玩具飞机A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯
角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约
等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)
三、解答题:本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)当a为何值时,不等式 的解集是全体实数?
18.(本小题满分12分) 已知 ,求:
(1) 的最小值;(2) 的最小值.
19.( 本小题满分12分)已知等差数列 满足: , , 的前n项和为 .
(1) 求 及 ;
(2) 求数列 的前 项和为 .
20.(本小题满分12分)已知 .
(1)求角 的大小;
(2)如果 , ,求 的面积.
21. (本小题满分12分)已知函数 ,其中a∈R,
(1)当 时,求 在区间 上的最大值与最小值;
(2)若 ,求a,θ的值.
22.(本小题满分12分)设各项均为正数的等比数列 中,
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,求证: ;
(3)是否存在正整数k,使得 对任意正整数n均成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,说明理由.
江西省高安中学2014-2015学年度下学期期末考试
高一年级文科数学试答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A D D B A B B A B B C D
13 14. 110 15 .8 16.60
17若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;………….2分
.若a=-1,原不等式为2x-1<0,即x<12,不符合题目要求,舍去.………….4分
(2)当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集是全体实数的条件是a2-1<0,Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0,…………6分
18.解:(1)∵x>0,y>0,
∴xy=2x+8y≥216xy
即xy≥8xy,∴xy≥8,
即xy≥64. …………4分
当且仅当2x=8y
即x=16,y=4时,“=”成立.…………5分
∴xy的最小值为64…………6分
(2)∵x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,
∴2x+8y=xy,即2y+8x=1.
∴x+y=(x+y)•(2y+8x)=10+2xy+8yx≥10+22xy•8yx=18…………10分
当且仅当2xy=8yx,即x=2y=12时“=”成立.
∴x+y的最小值为18. …………12分
19. (1)解得 , ,……….2分
所以 ;………….3分
.………….6分
(2)由(Ⅰ)可知, ,所以
所以
.……….12分
20.解:(1)因为 ,所以 ,… …………………3分
又因为 ,所以 ………………………5分
(2)因为 , ,所以 …………6分
由正弦定理 ,得 ……………………………………7分
因为 ,所以 ……………………………………8分
解得 ,因为 ,所以 …………………… ………………10分
故△ABC的面积 …………………………………………12分
21.解:(1)当a=2,θ=π4时,
f(x)=sinx+π4+2cosx+π2=22sin x+cos x-2sin x=22 cos x-22 sin x=sin π4-x,……………….3分
因为x∈[0,π],从而π4-x∈-3π4,π4,…………………4分
故f(x)在[0,π]上的最大值为22,最小值为-1………….6分
(2)由fπ2=0,fπ=1
得 cos θ1-2asin θ=0,2asin2 θ-sin θ-a=1. ………………7分.
又θ∈-π2,π2知cos θ≠0,
解得a=-1,θ=-π6.………….12分
22.解:(1)设数列{an}的公比为q(q>0),
由题意有a1+a1q2=10a1q2+a1q4=40,
∴a1=q=2,∴an=2n,
∴bn=n. …………3分.
(2 )∵c1=1<3,cn+1-cn=n2n,…………4分.
当n≥2时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+12+222+…+n-12n-1,
∴12cn=12+122+223+…+n-12n.
相减整理得:cn=1+1+12+…+12n-2-n-12n-1=3-n+12n-1<3 ,
故cn<3. …………7分.
(3)令f(n)=1bn+1+1bn+2+…+1bn+n
=1n+1+1n+2+…+12n
∵f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2- 1n+1
=12n+1-12n+2>0,
∴f(n+1)>f(n).
∴数列{f(n)}单调递增,
∴f(n)min=f(1)=12.
由不等式恒成立得:k10<12,
∴k<5.
故存在正整数k,使不等式恒成立,k的最大值为4…………12分.
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