湖北省2015年高考理科数学试题

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数 学(理工类)

本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 为虚数单位， 的共轭复数为

A. B. C.1 D.

2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

3.已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

A. B. C. D.

4.设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是

A.

B.

C.对任意正数 ，

D.对任意正数 ，

5.设 ， . 若p： 成等比数列;

q： ，则

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

6.已知符号函数 是 上的增函数， ，则

A.   B.

C. D.

7.在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率， 为事件“ ”的概率， 为事件“ ”的概率，则

A. B.

C. D.

8.将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位

长度，得到离心率为 的双曲线 ，则

A.对任意的 ， B.当 时， ;当 时，

C.对任意的 ， D.当 时， ;当 时，

9.已知集合 ， ，定义集合

，则 中元素的个数为

A.77 B.49 C.45 D.30

10.设 ， 表示不超过 的最大整数. 若存在实数 ，使得 ， ，…，

同时成立，则正整数 的最大值是

A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

(一)必考题(11—14题)

11.已知向量 ， ，则 .

12.函数 的零点个数为 .

13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 的方向上，行驶600m后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 m.

14.如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 (B在A的上方)，

且 .

(Ⅰ)圆 的标准方程为 ;

(Ⅱ)过点 任作一条直线与圆 相交于 两点，下列三个结论：

① ; ② ; ③ .

其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)

(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.)

15.(选修4-1：几何证明选讲)

如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，

且 ，则 .

16.(选修4-4：坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为 ，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于A B两点，则 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分11分)

某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解

析式;

(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图

象. 若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.

18.(本小题满分12分)

设等差数列 的公差为d，前n项和为 ，等比数列 的公比为q.已知 ， ， ， .

(Ⅰ)求数列 ， 的通项公式;

(Ⅱ)当 时，记 ，求数列 的前n项和 .

19.(本小题满分12分)

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，

且 ，过棱 的中点 ，作 交 于

点 ，连接

(Ⅰ)证明： .试判断四面体 是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写

出结论);若不是，说明理由;

(Ⅱ)若面 与面 所成二面角的大小为 ，

求 的值.

20.(本小题满分12分)

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶制品.生产1吨 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元;生产1吨 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天 产品的产量不超过 产品产量的2倍，设备每天生产 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为

W 12 15 18

P 0.3 0.5 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 (单位：元)是一个随机变量.

(Ⅰ)求 的分布列和均值;

(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

21.(本小题满分14分)

一种作图工具如图1所示. 是滑槽 的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且 ， .当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕 转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点.若直线

总与曲线 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值?若

存在，求出该最小值;若不存在，说明理由.

22.(本小题满分14分)

已知数列 的各项均为正数， ，e为自然对数的底数.

(Ⅰ)求函数 的单调区间，并比较 与e的大小;

(Ⅱ)计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明;

(Ⅲ)令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： .

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)试题参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B

二、填空题(本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分)

11.9 12.2 13.

14.(Ⅰ) ;(Ⅱ)①②③ 15. 16.

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

17.(11分)

(Ⅰ)根据表中已知数据，解得 . 数据补全如下表：

0

且函数表达式为 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，得 .

因为 的对称中心为 ， .

令 ，解得 ， .

由于函数 的图象关于点 成中心对称，令 ，

解得 ， . 由 可知，当 时， 取得最小值 .

18.(12分)

(Ⅰ)由题意有， 即

解得 或 故 或

(Ⅱ)由 ，知 ， ，故 ，于是

， ①

. ②

①-②可得

，

故 .

19.(12分)

(解法1)

(Ⅰ)因为 底面 ，所以 ，

由底面 为长方形，有 ，而 ，

所以 . 而 ，所以 .

又因为 ，点 是 的中点，所以 .

而 ，所以 平面 . 而 ，所以 .

又 ， ，所以 平面 .

由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，

即四面体 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 .

(Ⅱ)如图1，在面 内，延长 与 交于点 ，则 是平面 与平面

的交线. 由(Ⅰ)知， ，所以 .

又因为 底面 ，所以 . 而 ，所以 .

故 是面 与面 所成二面角的平面角，

设 ， ，有 ，

在Rt△PDB中, 由 , 得 ,

则 , 解得 .

所以

故当面 与面 所成二面角的大小为 时， .

(解法2)

(Ⅰ)如图2，以 为原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设 ， ，则 ， ，点 是 的中点，所以 ， ，

于是 ，即 .

又已知 ，而 ，所以 .

因 , , 则 , 所以 .

由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，

即四面体 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 .

(Ⅱ)由 ，所以 是平面 的一个法向量;

由(Ⅰ)知， ，所以 是平面 的一个法向量.

若面 与面 所成二面角的大小为 ，

则 ，

解得 . 所以

故当面 与面 所成二面角的大小为 时， .

20.(12分)

(Ⅰ)设每天 两种产品的生产数量分别为 ，相应的获利为 ，则有

(1)

目标函数为 .

当 时，(1)表示的平面区域如图1，三个顶点分别为 .

将 变形为 ，

当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，

最大获利 .

当 时，(1)表示的平面区域如图2，三个顶点分别为 .

将 变形为 ，

当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，

最大获利 .

当 时，(1)表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为 .

将 变形为 ，

当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，

最大获利 .

故最大获利 的分布列为

8160 10200 10800

0.3 0.5 0.2

因此，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，一天最大获利超过10000元的概率 ，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

21.(14分)

(Ⅰ)设点 ， ，依题意，

，且 ，

所以 ，且

即 且

由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于0，

于是 ，故 ，代入 ，可得 ，

即所求的曲线 的方程为

(Ⅱ)(1)当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ，都有 .

(2)当直线 的斜率存在时，设直线 ，

由 消去 ，可得 .

因为直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，

所以 ，即 . ①

又由 可得 ;同理可得 .

由原点 到直线 的距离为 和 ，可得

. ②

将①代入②得， .

当 时， ;

当 时， .

因 ，则 ， ，所以 ，

当且仅当 时取等号.

所以当 时， 的最小值为8.

综合(1)(2)可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

22.(14分)

(Ⅰ) 的定义域为 ， .

当 ，即 时， 单调递增;

当 ，即 时， 单调递减.

故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .

当 时， ，即 .

令 ，得 ，即 . ①

(Ⅱ) ; ;

.

由此推测： ②

下面用数学归纳法证明②.

(1)当 时，左边 右边 ，②成立.

(2)假设当 时，②成立，即 .

当 时， ，由归纳假设可得

.

所以当 时，②也成立.

根据(1)(2)，可知②对一切正整数n都成立.

(Ⅲ)由 的定义，②，算术-几何平均不等式， 的定义及①得